求函数y= x^ x的导数.

Answer 1

鉴于你没学导数,在此我就用初等数学来做了,不过不管用什么方法,一定会涉及到自然底数e,在此要先引入e的定义式,e=lim[x->∞](1+1/x)^x,此处[]表示下标,lim表示极限.

y=x^x=e^(xlnx)

作代换t=1/x

y=e^(ln(1/t)/t)=e^(-lnt/t)

考察函数f(x)=lnx/x

这个函数的几何意义是y=lnx上任一点(x,lnx)到原点连线的斜率.从图上不难看出,当直线y=kx与y=lnx相切时斜率最大,首先求y=lnx上任意一点的斜率.

取y=lnx任意一点A(x,lnx),间隔Δx再取一点B(x+Δx,ln(x+Δx)),割线AB的斜率k=(ln(x+Δx)-lnx)/Δx,当Δx无限趋近于0的时候,A,B两点就无限靠近,最后两点合为一点,此时割线就成了切线,因此A点切线的斜率

k=lim[Δx->0](ln(x+Δx)-lnx)/Δx

=lim[Δx->0]ln(1+Δx/x)/Δx

做换元Δx/x=1/u,则u->∞,Δx=x/u

k=lim[u->∞]ln(1+1/u)/(x/u)

=1/x*lim[u->∞]ln(1+1/u)^u(e的定义式)

=1/x*lne

=1/x

所以y=lnx在任意一点x=x0处的切线的斜率是1/x0

设过原点的切线与y=lnx的切点是(x0,lnx0),则

lnx0/x0=1/x0 <=> x0=e

所以k=lnx/x的最大值是lne/e=1/e

从而y=lnx/x在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减,从而y=ln(1/x)/(1/x)=-xlnx在(0,1/e]上单调递增,在[1/e,+∞)上单递减

所以y=x^x=e^(xlnx)在(0,1/e]上单调递减,在[1/e,+∞)上单递增

y=x^x在(0,+∞)上的最小值在x=1/e处取到

y(1/e)=(1/e)^(1/e)