5，已知：f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2 (x>1)

Question

1）求f(x)的反函数
2）若不等式（1-√x)f-1(x)>m(m-√x) 对 x∈[1/4，1/2]恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

1)
f(x)=[(x-1)/(x+1)]^2
=[(x+1-2)/(x+1)]^2
=[1-2/(x+1)]^2
因为x>1
则x+1>2
0<1/(x+1)<1/2
0>-2/(x+1)>-1
1>1-2/(x+1)>0
所以
1>f(x)>0

因为
f(x)=[1-2/(x+1)]^2
所以
1-2/(x+1)=√f(x)
1-√f(x)=2/(x+1)
x+1=2/[1-√f(x)]
x=2/[1-√f(x)]-1
=2[1+√f(x)]/[1-f(x)]-1
=[2+2√f(x)-1+f(x)]/[1-f(x)]
=[√f(x)+1]^2/[1-f(x)]

所以反函数是
f(x)=[√x+1]^2/(1-x) 1>x>0

2)
（1-√x)f-1(x)>m(m-√x)
（1-√x)[√x+1]^2/(1-x)>m(m-√x)
(1-x)(√x+1)/(1-x)>m(m-√x)
√x+1>m^2-m√x
(1-m)√x>m^2-1
当1-m>0时 即 m<1时
√x>(m^2-1)/(1-m)=-m-1
因为x∈[1/4，1/2]
即√x∈[1/2,√2/2]
所以 即1/2<√x<=√2/2
所以 -m-1<√x<=√2/2
所以
m+1>-√2/2
m>-√2/2-1
则m<1
所以
-√2/2-1<m<1

当1-m<0时 即m>1时
(1-m)√x>m^2-1
√x<(m^2-1)/(1-m)=-m-1
因为x∈[1/4，1/2]
即√x∈[1/2,√2/2]
所以 即1/2<√x<=√2/2
所以
1/2<√x<-m-1
m+1<-1/2
m<-3/2
由于m>1
所以无解

当1-m=0时
左边(1-m)√x=0
右边m^2-1=0
所以
左边>右边不成立
所以无解

结合三种情况得
-√2/2-1<m<1