几道排列组合题

Question

1.某学校准备参加数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，求有多少种分配方案？

2．雅典奥运会的第三天共产生8枚金牌，分别为中国4枚，美国2枚，日本、希腊各1枚，在奏国歌的先后顺序中，奏希腊国歌的前后都是奏中国国歌，美国国歌不连在一起奏，则这天奏国歌的顺序有多少种？

3.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，
丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法有多少种？

4．有5名男生，4名女生排成一排：
若男生甲不排在排头，女生乙不排在排尾，则有多少种排法？

请写出详细过程及解此类题的一般方法
四道题的答案：1.36 2.120 3.24 4.287280
说明道理，别凑数，谢谢

Answer 1

1.每班一个去掉，相当于8个班分配2个名额
第1种：2个班各1个，则c82=28
第2种：1个班2个，则c81=8
总共28+8=36种
2.总共奏8次国歌
将中国-希腊-中国 组合在一起，美国国歌用插入法，先排除
剩下为2个中国，1个日本，总共4个组合
然后将2个美国插进当中5个空档，总共就是p44*p52=480种
3.甲，乙一组，p22
丙，丁类似前面一题美国，先排除
剩下甲乙，戊2组 p22
再将丙，丁插入3个空档，p32
总共p22*p22*p32=24种
4.此题思路为：用9人排列-甲在排头情况-乙在排尾情况+甲在排头且乙在排尾情况
所以p99-p88-p88+p77=287280种

Answer 2

我来回答一下吧。
1。除了楼上知之为知之不知的方法外，还可以这样理解。10名额分给8个班，每班至少一个，就先把8个名额分给8个班，每班一个。关键是剩余2个的分法，可以2个同时分到一个班，有8种方法。另外一个就是2个分配在8个班，就是从8个班里抽出两个班一班拿一个，就是C82，8乘7除2，就是28，再加上上边说的那8种，就是36种。
2。我不知道奥运会上国歌的奏法，嘿嘿，你告诉我了，我可以把答案给你改一下。
3。五种商品要求甲乙在一起，丙丁不能在一起，你可以这样算，把甲乙弄在一起，看成一个元素，那就成了四种商品，就是有4！种放法，就是24种，由于甲和乙的位置可以颠倒，一个在左，一个在右，所以甲乙在一起的放法一共有2乘24，就是48种。再减下丙丁在一起的就可以了。再把丙丁放在一起，就是有了三种商品，在一起的结果是3！，就是6种，但是由于甲和乙的位置可以颠倒，丙和丁的位置可以颠倒，所以结果是6乘2乘2，就是有24种，用刚才得到的48减去这24，就是得到结果的24种放法了。
4。5个男生，4个女生排在一起，既然男生甲不在排头，那就从另外的8个人里找一个人来，这里边又分两中情况，因为女生乙不能在排尾，所以就让女生乙站在排头，那其他的8个人就可以随便排了，就是8！，再有就是女生乙不在排头，就是从男生甲和女生乙外的7个人里找一个来，有7种情况，找到以后剩下的8个人里有女生乙，所以要在女生乙外的7个人找出一个站在排尾，又有7种情况，站好排头排尾后，那剩余的7个人就可以随便站了，就是7！，所以结果就是7乘7乘7！，就是49乘7！，加上女生乙站在排头的8！种情况，刚好是287280种排法。
其中在数字后边带感叹号，代表的是阶乘，例如7！就是1乘2乘3乘4乘5乘6乘7，学到排列应该知道这个概念吧，呵呵。

Answer 3

1.每班一个去掉，相当于8个班分配2个名额
第1种：2个班各1个，则c82=28
第2种：1个班2个，则c81=8
总共28+8=36种
2.总共奏8次国歌
将中国-希腊-中国 组合在一起，美国国歌用插入法，先排除
剩下为2个中国，1个日本，总共4个组合
然后将2个美国插进当中5个空档，总共就是p44*p52=480种
3.甲，乙一组，p22
丙，丁类似前面一题美国，先排除
剩下甲乙，戊2组 p22
再将丙，丁插入3个空档，p32
总共p22*p22*p32=24种
4.此题思路为：用9人排列-甲在排头情况-乙在排尾情况+甲在排头且乙在排尾情况
所以p99-p88-p88+p77=287280种
1.因为每班至少有1人,共有8班,即有8个名额是固定的.
分配方案是关于剩下的2个名额给谁的问题,因为此两个名额可以给任意一个班级,即有8*8/2=32种

2.因希腊只有1枚,且希腊的前后均为中国国歌,表示希腊不可能是第一个国歌,以中国+希腊+中国的国歌排序为讨论对象,此组合与余下的五枚金牌位置排列,可能性有6种,
剩下的,即中国2次,美国2次,日本1次,因美国不能相邻,在剩下的5次中有的顺序为则有的有可能的顺序为:
全部可能的排序-美国相邻的可能排序,
即5*4*3*2*1-4*3*2*1=96
则全部的组合有96*6=576

3.因为甲、乙必须要放一起,则可把甲、乙当作一个整体,又因为甲、乙的先后顺序有两种,即有两种把甲、乙当一个整体放一起的方案
则可以当做是四种商品排列,
任何排列的方案有4*3*2=24种
因有丙、丁两种不能排一起,则这两种排一起的方案有3*2=6种
即全部的排法有2*(24-6)=36种

4.任意的排法有9*8*7*6*5*4*3*2=362880种
其中男生甲在队头的排法有8*7*6*5*4*3*2=40320种
其中女生乙在队尾的排法有8*7*6*5*4*3*2=40320种
其中男生甲在队头且女生乙在队尾的排法有7*6*5*4*3*2=5040种
则排法有362880-40320-40320+5040=287280种

排列组合的题目首先要分析是排列还是组合,比如第一题是组合,其它几题都算是排列的性质.
另外要注意的是在排列时,有哪些是可以当作一个整体的,当有某些条件限制了,而这些条件让某一部分成为了一个小整体的时候,则这些组成它的分部就成了一个整体了,比如在国旗里,因为希腊的必须有中国在前后,可以把它们组成一个整体,则在讨论全局的问题的时间就变成了6个金牌的顺序问题了.
某些条件单独分析很难得出的时候,可以从反过来的角度想,从总数里减去不能达到这些条件的组合数就是所求的了

Answer 4

1.因为每班至少有1人,共有8班,即有8个名额是固定的.
分配方案是关于剩下的2个名额给谁的问题,因为此两个名额可以给任意一个班级,即有8*8/2=32种

2.因希腊只有1枚,且希腊的前后均为中国国歌,表示希腊不可能是第一个国歌,以中国+希腊+中国的国歌排序为讨论对象,此组合与余下的五枚金牌位置排列,可能性有6种,
剩下的,即中国2次,美国2次,日本1次,因美国不能相邻,在剩下的5次中有的顺序为则有的有可能的顺序为:
全部可能的排序-美国相邻的可能排序,
即5*4*3*2*1-4*3*2*1=96
则全部的组合有96*6=576

3.因为甲、乙必须要放一起,则可把甲、乙当作一个整体,又因为甲、乙的先后顺序有两种,即有两种把甲、乙当一个整体放一起的方案
则可以当做是四种商品排列,
任何排列的方案有4*3*2=24种
因有丙、丁两种不能排一起,则这两种排一起的方案有3*2=6种
即全部的排法有2*(24-6)=36种

4.任意的排法有9*8*7*6*5*4*3*2=362880种
其中男生甲在队头的排法有8*7*6*5*4*3*2=40320种
其中女生乙在队尾的排法有8*7*6*5*4*3*2=40320种
其中男生甲在队头且女生乙在队尾的排法有7*6*5*4*3*2=5040种
则排法有362880-40320-40320+5040=287280种

注:排列组合的题目首先要分析是排列还是组合,比如第一题是组合,其它几题都算是排列的性质.
另外要注意的是在排列时,有哪些是可以当作一个整体的,当有某些条件限制了,而这些条件让某一部分成为了一个小整体的时候,则这些组成它的分部就成了一个整体了,比如在国旗里,因为希腊的必须有中国在前后,可以把它们组成一个整体,则在讨论全局的问题的时间就变成了6个金牌的顺序问题了.
最后一点就是某些条件单独分析很难得出的时候,可以从反过来的角度想,从总数里减去不能达到这些条件的组合数就是所求的了,比如最后一题.

Answer 5

第二题也是分情况考虑，因为和为10，所以取出的4张卡片为以下3种情况：1、红4、蓝4、红1、蓝1
“从这8张卡片中取出4张卡片排成一行”，所以有A44
种方法，有24种。2、红3、蓝3、红2、蓝2
有A44
种方法，有24种。3、1、2、3、4
每个数字都有2个颜色，取出来之后再4个进行排列，所以有2*2*2*2*A44种方法，有384种。最后将上面三种情况相加，得到432种。