函数f(x)在[a,b],在(a,b)内可导,则必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=

Answer 1

等于0

设函数f(x）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b），在开区间（a,b）上可导，

且f(a)=f(b），那么至少存在一点ξ∈（a、b），使得 f'（ξ）=0。称为罗尔定理。

罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

罗尔定理的三个已知条件的意义：

⒈f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；

⒉f(x）在（a,b）内[1]可导表明曲线y=f(x）在每一点处有切线存在；

⒊f(a)=f(b）表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴

罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b）内至少能找到一点ξ，使f'（ξ）=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行

罗尔定理的证明：

根据 f是闭区间 [a,b] 上连续函数的性质，由极值定理得在 [a,b] 上有最大值（M）和最小值（m）

⒈如果M=m，此时f(x）在[a,b]上恒为常数，结论显然成立。

⒉如果M>m，由条件f(a)=f(b)知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)=f(b)，不妨设M≠f(a)（如果设m≠f(a)，证法完全类似），那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M。

法1：因此，∀x∈[a，b]，有f(x)≤ f(ξ)，由费马引理（fermat引理）可知f'（ξ）=0

法2：由于f(x)在ξ处最大，故不论Δx是正或负，总有

f(ξ+Δx)- f(ξ)≤ 0,

因此，当Δx > 0 时，

{ f（ξ+Δx）- f（ξ）} / Δx ≤ 0 ，

故由极限的保号性有

f'+(ξ)=lim{ f（ξ+Δx）- f（ξ）} / Δx ≤ 0 , （1）

注：此处+为下角标。 lim下还有Δx→0+（此处+为上角标）

而当Δx < 0 时，

{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≥ 0 ，

故

f'-(ξ)=lim{ f(ξ+Δx)- f(ξ)} / Δx ≥ 0 。 （2）

注：此处 - 为下角标。 lim下还有Δx→0-（此处-为上角标）

由(1)，(2)两式及f'(ξ)存在知，必有

f'(ξ)=0.[2]

参考资料：http://baike.baidu.com/view/398971.htm

Answer 2

f(x)可导，则导函数连续。（这个需要证请追问）
g(x)=f'(x)(b-a)连续
min[g(x)]<=f(b)-f(a)=∫f'(x)dx<=max[g(x)]
由中值定理得存在ξ使
g(ξ)=f(b)-f(a)

Answer 3

由拉格拉日定理可知（可导必连续）
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

拉格朗日中值定理的几何意义。

追问

答非所问