∑(-1)^n[(2n-1)!!/(2n)!! ]^p ,p>0是实数证明p>2是绝对收敛，p<=2是条件收敛

Answer 1

证明:
令An={(2n-1)!!/(2n)!!},
则An+1/An=(2n+2)/(2n+2)<1.
故{An}单调递减.

由均值不等式,得
2=(1+3)/2>根(1×3)
4=(3+5)/2>根(3×5)
... ...
2n=[(2n-1)+(2n+1)]/2>根[(2n-1)(2n+1)]

将上述不等式相乘,得
2*4*...*(2n)>根(1×3)*根(3×5)*...*根[(2n-1)(2n+1)]
--->0<(2n-1)!!/(2n)!!<1/根(2n+1)

而(n->无穷)lim[1/根(2n+1)]=0
故(n->无穷)lim[(2n-1)!!/(2n)!!]=0.
单调减，un极限为0，则p大于0时，级数条件收敛，

∑[1根(2n+1)]^p当p=2时等价于1/(2n+1)，是发散的，
当p<2时也是发散的
∑[1根(2n+1)]^p当p<=2时收敛
lim(2n-1)!!/(2n)!!=lim[1/根(2n+1)]，
则∑(-1)^n[(2n-1)!!/(2n)!! ]^p当p<=2条件收敛。

Answer 2

p>0收敛这个容易证,abel-dirichlet就可以了。（\Sigma(-1)^n有界，[...]^p\rightarrow 0 (monotone & positive), 因为后者取log乘-1，\Sigma log(2n)-log(2n-1)>\Sigma 1/2n=\infty）。剩下证级数\Sigma [...]^p当p>2收敛，以及<=2不收敛。[...]=2n!/(2^2n*n!^2)由stirling公式，[...]^p~1/sqrt(pi*n)^p。因此稍微放缩下可以比较严格证明p>2时收敛，p<=2时不收敛。