椭圆x^2/ a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)一短轴顶点与两焦点的连线组成正三角形,且焦点到对

Question

椭圆x^2/ a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)一短轴顶点与两焦点的连线组成正三角形,且焦点到对应准线的距离为3，过以原点为圆心，半焦距为半径的圆上任意一点P作该圆的切线l且l与椭圆交于A、B两点（1）求椭圆的方程（2）求向量OA点乘向量OB的取值范围

Answer 1

解：

（1）由题意得

   a=2c

a^2/c-c=3

b^2=a^2-c^2 ，

求得a=2，b= √3   

，c=1

∴椭圆方程为x^2/4+y^2/3 =1．

（2）令P（x0，y0），因圆的方程为x2+y2=1

∴l的方程为：x0x+y0y=1，令A（x1，x2），B（x2，y2）

①当y0=0时，由

   x^2/4+y^2/3=1

    x 0x+y 0y=1       

得（3+x0^2)x^2-8x0x+12(x0)^2 -8=0

∴x1+x2=8x0 /[3+(x0)^2]

，x1x2=[12(x0)^2-8 ]/ [3+(x0)^2]

  向量 OA •向量OB   =x1x2+y1y2=-5  /[ 3+(x0 )^2 ] 

∵0≤(x0)^2＜1

∴-5/3≤向量OA•向量OB   ＜-5/4   

②当y0=0，x02=1时，可求得A（-1,3/2)   ，B（-1，-3/2   ），

或A（1，3/2   ），B（1，-3/2 ）

此时都有

向量OA •向量OB=-5/4   

综上-5/3 ≤向量OA •向量OB≤-5/4   

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