分析函数y=x方/(1+x) 函数的对称性、单调区间、凹凸区间、渐近线等几何性质。

Answer 1

y=x^2/(1+x)
y'=[2x(1+x)-x^2]/(1+x)^2=(x^2+2x)/(1+x)^2>0 x>0 or x<-2时,为增的.
y'<0, -2<x<-1时为减的, -1<x<0时,是减的.
y''=[(2x+2)(1+x)^2-2(1+x)(x^2+2x)]/(1+x)^4=[2(1+x)^2-2(x^2+2x)]/(1+x)^3
=2[1+x^2+2x-x^2-2x]/(1+x)^3
=2/(1+x)^3>0 x>-1时,是凹的．　x<-1时，是凸的
很明显：
设渐近线的形式为y=kx+b
则：在x趋于无穷时，k=lim[x^2／(1+x)]/x=1
limx^2/(1+x)-x]=lim[x^2-x-x^2]/(1+x)=lim[-x/(1+x)]=-1
所以：渐近线为：y=x-1
另外，y趋于＋无穷时，x趋于-1，所以，x=-1也是一条渐近线．

Answer 2

y=x^2/(1+x)
定义域为x≠-1
1）y(-x)≠y(x), y(-x)≠-y(x), 因此为非奇非偶函数
2）y'=[2x(1+x)-x^2]/(1+x)^2=(x^2+2x)/(1+x)^2=0,得x=0, -2
当x>0或x<-2时，y'>0,单调增
当-2<x<-1, 或-1<x<0,y'<0,单调减
y(0)=0为极小值，y(-2)=-4为极大值
3) y"=[(2x+2)(1+x)-(x^2+2x)*2]/(1+x)^3=2/(1+x)^3
当x>-1时，y">0, 为凹区间
当x<-1时，y"<0, 为凸区间
4）x->-1时，y->∞.所以x=1为垂直渐近线
x->∞时，lim y/x=1, 且 lim(y-x)=lim-x/(1+x)=-1 ,所以y=x-1为斜渐近线