微积分题目

Question

第11题为什么不能用(x+1)lnx/2(x-1)>1算

Answer 1

4。证明：作函数F(x，y)=y²-xy-2=0
令dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=(-y)/(2y-x)=0，解得y=0，代入原方程得2=0，显然，这是荒谬的，即
原方程没有极值点，也就是没有使一阶导数为零的点。
7。(b).求不定积分∫dx/[(1+x)(1+x²)]
解：原式=(1/2)∫[1/(1+x)+(1-x)/(1+x²)]dx=(1/2)[∫dx/(1+x)+∫dx/(1+x²)-∫xdx/(1+x²)]
=(1/2)[∫d(1+x)/(1+x)+arctanx-(1/2)∫d(1+x²)/(1+x²)]
=(1/2)ln∣1+x∣+arctanx-(1/4)ln(1+x²)+C
(c)求定积分【3，6】∫{[√(x²-9)]/x}dx
解：原式=【3，6】∫√[1-(3/x)²]dx，令3/x=sinu，则x=3/sinu，dx=-cosudu/sin²u；x=3时u=π/2；
x=6时u=π/6；代入原式得：原式=【π/2，π/6】-∫[√(1-sin²u)]cosudu/(sin²u)
=【π/2，π/6】-∫(cos²u/sin²u)du=【π/2，π/6】∫[(sin²u-1)/sin²u]du=【π/2，π/6】[∫du-∫du/sin²u]
=[u+cotu]【π/2，π/6】=π/6+√3-(π/2)=(√3)-π/3.
(d)求广义积分【0，+∞】∫dx/(x²+2x+2)
解：原式=【0，+∞】∫dx/[(x+1)²+1]=【0，+∞】∫d(x+1)/[(x+1)²+1]=[arctan(x+1)]【0，+∞】
=π/2-π/4=π/4.
9。(a)证明∫cosⁿxdx=(1/n)cosⁿ⁻¹xsinx+[(n-1)/n]∫cosⁿ⁻²xdx(n≧2)
证明：∫cosⁿxdx=∫cosⁿ⁻¹xd(sinx)=(cosⁿ⁻¹x)sinx-∫sinxd(cosⁿ⁻¹x)=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫[cosⁿ⁻²xsin²xdx]
=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫[cosⁿ⁻²x(1-cos²x)dx=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫cosⁿ⁻²xdx-(n-1)∫cosⁿxdx
移项得∫cosⁿxdx+(n-1)∫cosⁿxdx=n∫cosⁿxdx=(cosⁿ⁻¹x)sinx+(n-1)∫cosⁿ⁻²xdx
故得∫cosⁿxdx=(1/n)(cosⁿ⁻¹x)sinx+[(n-1)/n]∫cosⁿ⁻²xdx(n≧2).
(b)∫cos⁴xdx=(1/4)cos³x+(2/3)∫cos²xdx=(1/4)cos³x+(2/3)[cosxsinx+(1/2)x]+C
=(1/4)cos³x+(1/3)sin2x+(1/3)x+C
(c)【0，π/2】∫cos⁷xdx
∫cos⁷xdx=(1/7)cos⁶xsinx+(6/7)∫cos⁵xdx=(1/7)cos⁶xsinx+(6/7)[(1/5)cos⁴xsinx+(4/5)∫cos³xdx]

=(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(24/35)∫cos³xdx
=(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(24/35)[(1/3)cos²xsinx+(2/3)∫cosxdx]
=(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(8/35)cos²xsinx+(48/105)sinx
故【0，π/2】∫cos⁷xdx=[(1/7)cos⁶xsinx+(6/35)cos⁴xsinx+(8/35)cos²xsinx+(48/105)sinx]【0，π/2】=48/105
10。解微分方程dy/dx-2y=[e^(2x)]sinx
解：先求齐次方程dy/dx-2y=0的通解：分离变量得dy/y=2dx；积分之得lny=2x+lnC；
故得y=e^(2x+lnC)=[e^(2x)e^(lnC)=Ce^(2x)
用参数变易法：将任意常数改成x的函数u，于是得y=ue^(2x)..........(1)；
对x取导数得dy/dx=[e^(2x)]du/dx+2ue^(2x)..........(2)
将(1)和(2)代入原式得：[e^(2x)]du/dx+2ue^(2x)-2ue^(2x)=[e^(2x)]sinx
化简得[e^(2x)]du/dx=[e^(2x)]sinx
于是得du=sinxdx；再积分之便得u=-cosx+C，代入(1)式即得通解为：y=(C-cosx)e^(2x).
11。证明当x>1时，不等式lnx>2(x-1)/(x+1)恒成立
证明：令f(x)=lnx-2(x-1)/(x+1)，当x>1时：
由于f'(x)=(1/x)-[2(x+1)-2(x-1)]/(x+1)²=(1/x)-4/(x+1)²=[(x+1)²-4x]/[x(x+1)²=(x-1)²/(x+1)²>0
故f(x)在x>1时是单调增加的函数，而f(1)=0，故当x>1时必有f(x)=lnx-2(x-1)/(x+1)>0；即原命
题成立。
【为什么不能用[(x+1)/2(x-1)]lnx>1算?不是不能用，而是不好用！】

追问

第七题一定要用三角吗，有没有不用三角的方法

追答

有没有其它方法，你自己试试吧！应该有吧！

Answer 2

这题本来就要利用x=1时，左边=右边=0
设f是两个函数的差，证明导数>0

Answer 3

你可以设f(x)=lnx g(x)=2(x-1)/(x+1) 我们知道lnx是单调递增，x=1时很显然二者都为0，那比较他们的导数即可。f的导数1/x g的导数4/(x+1)² f导数减去g的导数，通分，得(x-1)²/x(x+1)²由于x大于1，所以导数差必然大于0，也就是说f 增得比g快，所以f大于g