线代：行列式D=3 -5 2 1 1 1 0 -5 -1 3 1 3 2 -4 -1 -3 为什么A11+A12+A13+A14等于用1,1,1,1代替D的第一行

Question

D=3 -5 2 1
1 1 0 -5
-1 3 1 3
2 -4 -1 -3
为什么A11+A12+A13+A14等于用1,1,1,1代替D的第一行所得的行列式？

Answer 1

辅助行列式 D1 =
1 1 1 1
1 1 0 -5
-1 3 1 3
2 -4 -1 -3
一方面, 直接计算得 D1 = 4
另一方面, D1按第1行展开, 有 D1 = A11+A12+A13+A14
所以在 D1 中有 A11+A12+A13+A14 = 4.
又因为 D与D1 中第一行元素的代数余子式对应相同
所以在D中有 A11+A12+A13+A14 = 4

Answer 2

行列式的值=它任意一行或列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。所以A11+A12 +A13 +A14=1*A11 +1*A12 +1*A13 +1*A14=det1 1 1 1 不必理解为替换 理解为一个行列式的值
1 1 0 -5
-1 3 1 3
2 -4 -1 -3

追问

理解为一个行列式的值是什么意思？能再具体解释一下嘛

追答

就是把这个算是看成一个行列式的值 注 行列式的本质是一个数 它=任意一行或列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 所以一个代数余子式相加表示一个行列式 它有一行全是1 其余的与原始行列式保持一致 因为一行的代数余子式与这一行无关 与其余行有关 这就是你问的用1替代第一行而保持其它行不变的原因