三维空间中，已知3个点坐标。求其中一点要另外两点所构成的线段的距离

Question

三维空间中 已知3个点坐标。
求其中一点要另外两点所构成的线段的距离

延伸：
由若干个线段组成的一个平面，求这点到这个平面的距离

三个点：p(x,y,z),p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2); 求p到线段p1p2的距离。本人数学基础不是很牢固，希望能解释各个步骤 。 小弟在此谢过啦

Answer 1

向量
p1p=(x-x1,y-y1,z-z1)
p1p2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

再用
(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)+(z-z1)(y2-y1)的绝对值
除以
sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)*sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2)
（sqrt代表根号）

得到p1p和p1p2夹角的余弦cos值，这利用了向量内积的性质，你看下参考资料，可以由内积反推出cos值。

然后用 sin^2+cos^2=1，得到sin值。

最后用 sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2) 乘以这个sin值，就结束了。

如果你还不满意，也可以用三角形面积=0.5×底×高来算。
三角形如果知道三条边的长度a,b,c，则面积S=0.5*根号下((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c))。

你可以先求出pp1p2的边长，然后代进去算出面积，然后高=2×S/底，就求出来了。

追问

错了了，我求的是最短距离，在三维空间内。这点的最短距离不一定在垂线上。
比如我在这个多边形的右上方，那么它到这个多边形的最短距离就成了右上点 到这个点的距离了。

追答

哦，那你需要求出C在AB的垂足的位置D，然后看垂足是否在线段AB上。如果不在线段上，则需要求出CA和CB里的较小的距离，就可以了！按我的方法，看AC和AB的夹角，是否小于90度（利用向量内积），如果BC和BA的夹角也小于90度（利用向量内积），则说明是个垂足会在AB上。否则的话，垂足不会在AB上，那么最短距离就会在顶点出现，不是A就是B。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/1485493.htm