已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P,使a/sin∠PF1F2=c/sin∠PF2F1，则椭圆离心率的取值范围？
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Answer 1

解答：
利用正弦定理
PF2:sin∠PF1F2=PF1:sin∠PF2F1
∴ sin∠PF1F2：sin∠PF2F1=PF1:PF2
∵ a/sin∠PF1F2=c/sin∠PF2F1
∴e=c/a=sin∠PF2F1/sin∠PF1F2=PF1/PF2
∴ PF1=ePF2
∵ PF1+PF2=2a,
∴ PF2=2a/(1+e),PF2=2ae/(1+e)
∵ PF2-PF1≤F1F2
∴ 2a/(1+e)-2ae/(1+e)≤2c
∴ 1/(1+e)-e/(1+e)≤e
∴ 1-e≤e(1+e)
∴ e²+2e-1≥0
∴ e≥-1+√2或e≤-1-√2
又∵ 0<e<1
∴ 椭圆离心率的的取值范围是[√2-1,1)