1-9数字任意排，不能重复

Question

()()+() ()=()()×()=()()求老师解答！
不起相等，是安顺序算。。好难

Answer 1

"不是相等, 是按顺序算"到底是什么意思?
我试了两种理解方法都没有解.
请解释一下或者检查一下原题.

第一种理解: ①②+③④ = ⑤⑥×⑦ = ⑧⑨.
从一位数的乘数⑦开始枚举.
首先⑦不可能为1, 否则⑤⑥ = ⑧⑨, 数字重复.
⑦不可能为5, 否则⑧⑨是5的倍数, 又个位不为0, 只有⑨ = 5 = ⑦, 数字重复.
⑦不可能为9, 因为与9相乘得两位数的两位数只有10, 11, 包含0或重复数字.

若⑦ = 8, 排除⑤⑥ = 10, 11后, 唯一的可能为⑤⑥ = 12, ⑧⑨ = 12×8 = 96.
剩余数字3, 4, 5, 7, 数字和3+4+5+7 = 19除以3余1.
而①②+③④除以3的余数与①+②+③+④相同, 因此也除以3余1.
这与①②+③④ = 96被3整除矛盾.
因此⑦不可能为8.

若⑦ = 7, 仅有的可能为⑤⑥ = 12, 13, 14.
但13×7 = 91数字重复, 只有⑤⑥ = 12, 14.
若⑤⑥ = 12, ⑧⑨ = 12×7 = 84.
剩余数字3, 5, 6, 9, 数字和3+5+6+9 = 23除以3余2, 同上面分析知与84被3整除矛盾.
若⑤⑥ = 14, ⑧⑨ = 14×7 = 98.
剩余数字2, 3, 5, 6, 数字和16除以3余1, 与98除以3余2矛盾.
因此⑦不可能为7.

若⑦ = 6, 仅有的可能为⑤⑥ = 12, 13, 14, 15, 16.
但⑤⑥ = 12, 14, 16时数字重复, ⑤⑥ = 15时⑨ = 0.
只有⑤⑥ = 13, ⑧⑨ = 13×6 = 78.
剩余数字2, 4, 5, 9, 数字和20除以3余2, 与78被3整除矛盾.
因此⑦不可能为6.

若⑦ = 4, 可能为⑤⑥ = 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23.
但⑤⑥ = 12, 16, 21, 23时数字重复, ⑤⑥ = 15时⑨ = 0.
只有⑤⑥ = 13, 17, 18, 19.
若⑤⑥ = 13, ⑧⑨ = 13×4 = 52.
剩余数字6, 7, 8, 9, 组成的最小两位数为67 > 52, 矛盾.
若⑤⑥ = 17, ⑧⑨ = 17×4 = 68.
剩余数字2, 3, 5, 9, 数字和除以3余1, 与68除以3余2矛盾.
若⑤⑥ = 18, ⑧⑨ = 18×4 = 72.
剩余数字3, 5, 6, 9, 数字和除以3余2, 与72被3整除矛盾.
若⑤⑥ = 19, ⑧⑨ = 19×4 = 76.
剩余数字2, 3, 5, 8, 数字和被3整除, 与76除以3余1矛盾.
因此⑦不可能为4.

若⑦ = 3, ⑧⑨ = ⑤⑥×3是3的倍数, 因此⑧+⑨是3的倍数.
由①②+③④ = ⑧⑨, ①+②+③+④也是3的倍数.
于是⑤+⑥ = 45-(①+②+③+④+⑦+⑧+⑨)也是3的倍数, 故⑤⑥是3的倍数.
⑤⑥的可能值为12, 15, 18, 21, 24, 27.
但⑤⑥ = 12, 15, 21, 24时数字重复, 只有⑤⑥ = 18, 27.
若⑤⑥ = 18, ⑧⑨ = 18×3 = 54.
剩余数字2, 6, 7, 9, 数字和除以9余6, 与54被9整除矛盾.
若⑤⑥ = 27, ⑧⑨ = 27×3 = 81.
剩余数字4, 5, 6, 9, 数字和除以9余6, 与81被9整除矛盾.
因此⑦不可能为3.

综上, 只有⑦ = 2, ⑧⑨ = ⑤⑥×2是偶数, 因此⑨ = 4, 6, 8.
⑥ = 3, 4, 7, 8, 9.
⑤⑥的可能值为13, 14, 17, 18, 19, 34, 37, 38, 39, 43, 47, 48, 49.
但⑤⑥ = 13, 14, 37, 47, 49时数字重复, 只有⑤⑥ = 17, 18, 19, 34, 38, 39, 43, 48.
若⑤⑥是3的倍数, ⑧⑨ = ⑤⑥×2也是3的倍数.
⑤+⑥+⑧+⑨是3的倍数, ⑤+⑥+⑦+⑧+⑨除以3余2.
于是①+②+③+④ = 45-(⑤+⑥+⑦+⑧+⑨)除以3余1, 与⑧⑨是3的倍数矛盾.
这样可以排除⑤⑥ = 18, 39, 48, 只剩⑤⑥ = 17, 19, 34, 38, 43.
若⑤⑥除以3余1, 则⑧⑨ = ⑤⑥×2除以3余2.
⑤+⑥+⑧+⑨被3整除, ⑤+⑥+⑦+⑧+⑨除以3余2.
于是①+②+③+④ = 45-(⑤+⑥+⑦+⑧+⑨)除以3余1, 与⑧⑨除以3余2矛盾.
这样可以排除⑤⑥ = 19, 34, 43, 只剩⑤⑥ = 17, 38.
若⑤⑥ = 17, ⑧⑨ = ⑤⑥×2 = 34.
剩余数字5, 6, 8, 9, 组成的最小两位数为56 > 34, 矛盾.
只有⑤⑥ = 38, ⑧⑨ = ⑤⑥×2 = 76.
剩余数字1, 4, 5, 9, 可枚举知任意组合都不能相加得76.

因此不存在满足要求的解.

第二种理解: ①②+③④ = ⑤⑥, ⑤⑥×⑦ = ⑧⑨.
由1-9组成的无重复数字的两位数最小为12.
而①②和③④中至多有一个十位是1, 另一个的十位至少为2, 因此不小于21.
所以⑤⑥ = ①②+③④ ≥ 12+21 = 33.
又⑤⑥无重复数字, 故⑤⑥ > 33.
于是由⑤⑥×⑦ = ⑧⑨仍是两位数, 有⑦ < 3, 也即⑦ ≤ 2.
而若⑦ = 1, 有⑤⑥ = ⑧⑨, 数字重复, 因此⑦ = 2.
由⑤⑥×2 = ⑧⑨ < 100, 得⑤⑥ < 50, 即⑤⑥ ≤ 49.

因为⑦ = 2, 所以①, ③最小为1, 3, ⑤⑥ = ①②+③④ ≥ 12+31 = 43.
43 ≤ ⑤⑥ ≤ 49, 可知⑤ = 4.
若⑤⑥ = 44, 46, 47, 49, 可验证等式⑤⑥×2 = ⑧⑨有重复数字.
若⑤⑥ = 43, 等式⑤⑥ = ①②+③④只可能为43 = 12+31, 有重复数字.
若⑤⑥ = 45, 则⑧⑨ = ⑤⑥×2 = 90, 有⑨ = 0, 矛盾.
因此只有⑤⑥ = 48, ⑧⑨ = ⑤⑥×2 = 96.
剩余数字1, 3, 5, 7, 数字和16除以3余1.
因此⑤⑥ = ①②+③④也除以3余1, 与48被3整除矛盾.

同样不存在满足要求的解.

注: 如果把乘号改成加号倒是容易找到解:
第一种理解: 18+54 = 63+9 = 72 (36+45 = 72+9 = 81).
第二种理解: 18+45 = 63, 63+9 = 72.

Answer 2

我用的高二的方法 排列组合里面的  结果你自己算