为什么说阿基里斯追不上乌龟

Question

好快阿

Answer 1

　　芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。显然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上似乎没有任何毛病。但用微积分的思想,却可以发现:

　　由于这段路程被分成了无数小段，而根据芝诺的推论,在每一个小段里，阿基里斯是永远追不上乌龟的。这显然是正确的。可是，我们可以看到，这无数个小段加起来,阿基里斯就刚好可以追到。这涉及到等比无穷数列问题。如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线，曲线与曲线的渐近线是没有交点的,所以，用微积分的思想是不能证明的，除非曲线与曲线的渐近线是有交点的。

Answer 2

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。
　　有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
　　芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。
　　类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。
　　以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。
　　其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。

Answer 3

芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。显然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上似乎没有任何毛病。但用微积分的思想,却可以发现:
由于这段路程被分成了无数小段，而根据芝诺的推论,在每一个小段里，阿基里斯是永远追不上乌龟的。这显然是正确的。可是，我们可以看到，这无数个小段加起来,阿基里斯就刚好可以追到。这涉及到等比无穷数列问题。如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线，曲线与曲线的渐近线是没有交点的,所以，用微积分的思想是不能证明的，除非曲线与曲线的渐近线是有交点的。

Answer 4

首先阿基里斯必须跑到乌龟的出发点，这样，乌龟总是领先阿基里斯一段路。

假设乌龟超前1000米，阿基里斯以百倍与乌龟的速度向前赶，当阿基里斯跑的乌龟的原来位置时，乌龟前进了10米；当阿基里斯跑完这10米距离时，乌龟又前进了1分米；……如此下去，阿基里斯固然可以不断缩短同乌龟的距离，但始终处与乌龟的后面。

这是一个谬论，学了极限之后你就可以证明了。

Answer 5

空间和时间不是可以无限分割的，所以有一段时间是最微小的，阿基里斯和乌龟共同前进一个空间单位，然后超过乌龟。