已知函数fx=(a的x次幂+1)分之(a的x次幂-1) , a>0.证明函数在定义域内为增函数;并求fx的值域。

Question

详细过程 谢谢

Answer 1

（1）
这题要先算奇偶性
f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1]
=[1-a^x]/[1+a^x]
=-(a^x-1)/(a^x+1)
=-f(x)
故f(x)为奇函数
f(x)为奇函数，所以只讨论在x＞0时的情况
①当a＞1时，a^x为增函数
令：0＜x1＜x2
则，f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)/(a^x1+1)]-[(a^x2-1)/(a^x2+1)]
=[(a^x1-1)*(a^x2+1)-(a^x2-1)*(a^x1+1)]/[(a^x1+1)*(a^x2+1)]
上述分式的分母一定＞0
分子=[a^(x1+x2)-a^x2+a^x1-1]-[a^(x1+x2)-a^x1+a^x2-1]
=2(a^x1-a^x2)
因为a^x为增函数，且x1＜x2
所以，a^x1＜a^x2
所以，f(x1)-f(x2)＜0
即，f(x1)＜f(x2)
所以，f(x)为增函数
而f(x)为R上的奇函数
所以，在R上，f(x)为增函数
②当0＜a＜1时，同理可得f(x)在R上为减函数
（2）
求f(x)的值域.
因为0
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).

求采纳~祝学习进步

Answer 2

设a^x=u,则u>0,
f(x)=(u-1)/(u+1)=1-2/(u+1),记为g(u),其值域是(-1,1).
g(u)(u>0)是增函数，
a>1时u=a^x是增函数，
f(x)是g(u)与u=a^x的复合函数，
∴f(x)是增函数；
0<a<1时u=a^x是减函数，f(x)是减函数。
请检查题目.

Answer 3

先分离常数得1－2／a的x次幂＋1
a的x次幂单调增，则原函数单调减，因为他在下边
a的x次幂大于0则原函数值域为﹙－1，＋∞﹚