怎样用坐标法证明余弦定理？

Question

如题。。。

Answer 1

余弦定理的三次推导（高中数学）</B>2006-11-17 13:02:38 阅读975次 2000-2005年笔者先后三次任教高一数学，每轮教学时，都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进，争取在原有基础上有所突破。下面是笔者在“余弦定理的推导”的三轮教学中，不断实践、反思、再实践，尝试激活数学课堂教学的三个课例。
教学片段：余弦定理的第一次推导
提问：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三边AB的长？
教师讲解：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
Ao C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
这种方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
笔者在第一次讲授余弦定理的推导过程是按照教材借助于平面直角坐标系，采用坐标法直接得证的。
从课堂效果来看，同学们对运用坐标法来推导余弦定理这一数形结合的思想方法很快接受，其后大量的教学时间可以投入到运用余弦定理解三角形的练习中。而余弦定理的推导过程犹如昙花一现，逐渐被学生忽略和忘却。在以后的学习中，几乎很少有同学能具体说出定理的推导过程，同时，同学们仍旧不习惯用坐标法来解决一些实际问题。因此，这堂课只是让学生接受了余弦定理的内容，而在数学思想方法的点拨培养，即让学生对坐标法的领悟是失败的。因此，笔者在第二次讲授余弦定理的推导时做了新的尝试。
教学片段：余弦定理的第二次推导
一、创设情境，提出问题
教师活动：某工程师设计一条现代化铁路
通过某座山，要预算开凿隧道BC的长， 测量人员
所处的测量点为A，测得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。
如果你是工程师，你将如何计算隧道BC的长？
二、探索解法，提升认识
学生活动：学生找熟悉方法入手，把“斜三角形转化成两个
直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明。
师生共同活动：由学生交流、讨论，发现此种方法必须对∠A分三种情况讨论，才是完整的证明。
若∠A是直角 若∠A是锐角 若∠A是钝角

BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA
通过三种情况的分类讨论，说明无论∠A是直角、锐角、钝角，
都有a2=b2+c2 -2bccosA
教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程显得十分累赘。同学们能否想个办法避开讨论，不管∠A是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？
学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。
学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A O C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教师活动：这种方法，我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
从课堂效果来看，同学们从安静地听课到积极地配合，从被动地接受到主动地思考。从课后同学反馈来看，同学们纷纷表示对余弦定理的推导过程留下了深刻的印象，感悟到重视数学思想方法要比数学结果的记忆和运用更为重要，而且更吸引他们。从第一次教学后同学们对数学精彩的毫无感觉到第二次教学后同学们对数学思想方法的领悟。无疑，第二次教学实践是有所提高的。而提高正是来自于新课程理念的指导。
首先，新课程指出一堂好课应该是学生探索世界的窗口。给予学生新的视野、新的启迪比知识本身的传授更为重要。因此，笔者的第二次教学尝试，将教学重心置于余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重技能、方法的培养。
其次，新课程强调课堂教学向生活的回归，只有植根于生活世界并为生活世界服务的课程和教学，才能具有深厚的生命力。因此，笔者创设了一个“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题情境，从教学内容的结构、呈现方式上进行转变。做到情境化、问题化，让学生体验生活中处处有数学。
再次，新课程关注学生的学习兴趣和经验，强化直接经验和间接经验的有机整合。因此，在解决实际问题的过程中，鼓励学生从已有的数学经验出发，使得学生能很自然且有信心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。在合作、交流、完善的过程中，让学生体会原有经验在解决问题中的不足，从而激发学生另辟新径、探求新知，进而化解矛盾、化繁为简。在坐标法的探究中，让学生领悟到坐标法解决几何问题比以往用初中几何知识解决，所具有独特的魅力和优越性；更从中领悟到高中阶段学习任意角的三角比的实质意义。在经历了探究、体验、感悟后，同学们的间接经验经过整合、充实、提升为直接经验，并使直接经验不断丰富、发展、升华，从而实现知识与能力的统一。
然而，第二天的课前回顾，在讲述余弦定理表达式的回答中，从几位同学吱吱唔唔的回答中，笔者又发现了新问题。在注重余弦定理推导方法的比较时，却忽略了余弦定理本身。新课程明确指出：“将课程与学习融为一体，要展示知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。”因此，笔者的第三次教学尝试，在备课时重点放在了余弦定理身上。而如何创设一个余弦定理生成的场景，让学生去自主发现、自主探究，则是问题的关键。但这一问题过去从未思考过，各类书籍参考书也从未揭示过余弦定理的来源，确实它让笔者面临一项很大的挑战。然而“功夫不负有心人”，终于在一次翻阅过去教案时，灵感降临了。笔者被余弦定理的一个相关结论所吸引：“在三角形ABC中，若a2= b2+c2，则∠A是直角；若a2>b2+c2，则∠A是钝角；若a2< b2+c2，则∠A是锐角”。这个学生显见的结论，它的证明与余弦定理的关系，三个条件式变化的背后，不正是笔者所要找的吗？因此，笔者在第三次讲授余弦定理的推导时又做了新的尝试。
教学片段：余弦定理的第三次推导
一、引导学生，发现余弦定理的存在
教师活动：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三边AB的长？
学生活动：不能，因为三角形的大小、形状不能确定。
教师活动：不能，那么添加哪一个角的条件，一定能求出三角形的第三边。
学生活动：根据三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夹角C。
教师活动：既然c边可由a、b及∠C唯一确定，那么对于这类问题是否也像正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？
二、引导学生，探究、猜想余弦定理的形式
教师活动：（几何画板展示，在ΔABC中，AC、BC长度固定不变，BC绕C点转动，AB的长度随∠C 的变化而变化），
这一变化揭示AB的长度与∠C之间是怎样的数学关系？
学生活动：AB应为∠C的函数
教师活动：（几何画板的数据演示：
当∠C=90°时，c2=a2+b2；
当∠C<90°时，c2<a2+b2；
当∠C>90°时，c2>a2+b2；）
师生共同活动：教师组织学生观察、讨论，引导学生归纳、猜想函数关系式。
学生活动：猜想c2=a2+b2+f( )
师生共同活动：师生共同探究f( )的具体形式。
（1）f( )=？（2）f( )与 的哪个三角函数有关？
学生活动：学生交流、讨论，联想各个三角函数得出以下结论：
（1）f( )与 的余弦值有关；（2）f( )=cosC（3）f( )=cos
（4）f( )= kcos
学生经过交流、讨论、探究，一致认为f( )= kcos
即c2=a2+b2+kcos （k>0）
教师活动：那么k又是什么形式？如何确定k呢？
学生活动：（学生分组讨论，探求k）
有学生由特殊值着手，发现：（1）当C=30°， c2=a2+b2- bc
（2）当C=60°， c2=a2+b2-bc
（3）当C=120°，c2=a2+b2+bc
（4）当C=150°，c2=a2+b2+ bc
有学生由临界状态发现：当C=0°或当C=180°时，k=2ab
学生经过分析，大胆地猜想：c2=a2+b2-2abcosC
三、鼓励学生，探究余弦定理的证明
教师活动：数学猜想富于创造性，能够提供大量的新视点、有价值的设想，但是其成果必须经过严格的论证，只有经过论证的东西才是数学上可以接受的。
学生活动：（学生找熟悉的方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明）
师生共同活动：由学生讨论此种方法必须对∠C分三种情况讨论，才是完整的证明。
教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程十分累赘。能否避开讨论，不管∠C是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？
学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。
学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A o C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教师活动：我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
从课堂效果来看，同学们情绪高涨、思维活跃，全身心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。同学们从积极地配合到主动的探究，从单一思考到合作交流。从课后同学反馈来看，同学们纷纷欣喜地表示“原来数学可以这样学”、“原来数学规律的发现我也行”、“余弦定理我是一辈子也不会忘的”。对余弦定理的发现、猜想、论证过程留下了极为丰富的印象，体验到主动探究、合作交流这些学习方式的充实和快乐。从第二次教学后同学们对数学思想方法的感悟到第三次教学后同学们对数学学科的魅力的由衷向往。无疑，第三次教学实践是成功的。而成功更是来自于对新课程理念的追求。
首先，新课程重视数学知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。因此，笔者的第三次教学尝试，将整堂教学内容定为余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重知识的发生、发展过程，在知识发生、发展的过程体验中，达成知识、技能、方法的提高。而这一过程的创设，则是教师钻研的真正所在，也是教师智慧的真正体现。
其次，新课程积极营造“涌动着生命活力”的课堂教学。在笔者所创设的余弦定理生成的场景中，同学们释放出前所未有的积极性、创造性和想象力，在“浮想联翩”、“怦然心动”、“百感交集”、“妙不可言”的情感变化中，完成了余弦定理的猜想；在“茅塞顿开”、“豁然开朗”、“悠然心会”、“深得我心”的情感体验中，完成了余弦定理的证明。而师生之间心灵的共鸣和思维的共振，已使课堂成为师生之间生命相遇、心灵相约、质疑解难、探寻真理的场所。
再次，新课程提倡让主动探究成为学生的学习方式。从第三次教学现场来看，笔者亲身感受到探究活动在学生身上激发出的学习热情，更发现了在经历探究活动的过程中学生身上焕发出巨大的学习潜质。作为新课程提倡的一种学习方式，要求教师不断引导和指导学生去主动探究，更期待着它能内化为学生经验系统的一部分，成为学生的一种学习习惯。

余弦定理三次推导三次变化，变化不仅仅来自推导方法的不同，变化更是来自于设计理念的更新、教师角色的转变和学生学习方式的改变。变化最终让数学课堂焕发生命活力。
作者：王 静 单位：天山中学

Answer 2

先建立坐标系XYZ轴，在做一个长方体，连接内对角线，再用向量表示每个点！通过向量计算即可得证！