设函数f(x)=ax平方-2x+2满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围

Question

我的过程是：
若a=0，则f（x）=-2x+2在（1，4）上单调递减，f（x）>f（4）=-6<0
所以a≠0
当a>0，
（1）△<0，得a>1/2
（2）△≥0则
令f（x）=0
得x1=1-√￣（1-2a）/a x2=1+√￣（1+2a）
根据图像可知，对称轴是不可能在（1，4）上的
因而①4<x1 或 1>x2
a∈（0，1/2〕
当a<0时
△＞0且1>x1，且4<x2，a∈∅
综上a∈（0，+∞）
答案是a∈（1/2，+∞）怎么回事，我哪里不对？

Answer 1

当a>0，
（1）△<0，得a>1/2
（2）△≥0则
令f（x）=0
得x1=1-√￣（1-2a）/a x2=1+√￣（1+2a）
这里：x2=1+√￣（1+2a）>1了。这种情况下你求得的解，在x=X2，F（x）=0.
此时x<x2，F(1)在这里的值为小于f（x2）了，所以，此时F(1)<0
所以a此时不是a∈（0，1/2〕，正确得为a∈∅

最终答案就只有一个（1）△<0，得a>1/2，所以答案是a∈（1/2，+∞）

Answer 2

设函数f(x)=ax平方-2x+2满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围
解析：∵函数f(x)=ax平方-2x+2满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0
f(x)=a(x^2-2/ax+2/a)=a[(x-1/a)^2+2/a-1/a^2]=a(x-1/a)^2+(2a-1)/a ( a>0)
函数f(x)对称轴为x=1/a,开口向上，最小值为(2a-1)/a
∴只要最小值>0即可满足要求
令(2a-1)/a>0==>a>1/2
∴实数a的取值范围为a>1/2

Answer 3

方程对称轴x=1/a，
分类讨论：当a<0时
1°1/a＜1，则f（x）在1<x<4上单调递减；
得满足f（1）＞0，f（2)＞0
得a无解
2°1＜1/a＜4，得满足f（1/a)＞0,
得a无解
3°1/a＞4，同理可得a无解
当a＞0时
1°1/a＜1，则f（x）在1<x<4上单调递增；
有f（1）＞0，f（2)＞0
解得a∈（1/2，+∞）
2°1＜1/a＜4，
有f（1/a)＞0,
解得a∈（2/3,1）
3°1/a＞4，则f（x）在1<x<4上单调递减，
有f（1）＞0，f（2)＞0
解得a∈（1/2，+∞）
纵上所述：a∈（1/2，+∞）

Answer 4

根据图像可知，对称轴是不可能在（1，4）上的 。为什么？对称轴是1/a,而当△≥0，4-8a≥0∴a≤1/2那么对称轴1/a≥2的。
应该用对称轴进行分类讨论，比如①1/a≤1②1＜1/a＜4③1/a≥4

追问

若对称轴在上面，（1，4）上又恒大于零，那么△≥0还成立么？笨！

Answer 5

结果是对的，如果a<0.5,必然有一部分的f(x)<0.