已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π/2)图像关于点B(-π/4,0)对称

Question

点B到函数y=f(x)图像的对称轴的最短距离为π/2,且f(π/2)=1
(1)求A,ω,φ的值
(2)若0<θ<π,且f(θ)=1/3,求cos2θ的值

Answer 1

已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,0<φ<2分之π)的图像关于点B(-4分之π，0）对称，点B到函数y=f（x）的图像的对称轴的最短距离为2分之π，且f(2分之x)=1.
（1）求f(x)的解析式；
（2）若f（θ）=3分之1，且0<θ<π，求cos2θ的值。

(1)解析：∵函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,0<φ<π/2)的图像关于点B(-π/4,0）对称
∴wx+φ=kπ==>x=(kπ-φ)/w=-π/4==>φ=kπ+wπ/4
又∵点B到函数y=f（x）的图像的对称轴的最短距离为π/2，且f(π/2)=1
∴T/4=π/2==>T=2π==>w=2π/2π=1

∴f(x)=Asin(x+π/4)==>f(π/2)=Asin(π/2+π/4)=Acosπ/4=1==>A=√2
∴f(x)的解析式为f(x)=√2sin(x+π/4)

(2)解析：∵f（θ）=√2sin(θ+π/4)=1/3，且0<θ<π
sinθ+cosθ=1/3
与(sinθ)^2+(cosθ)^2=1联立
解得sinθ=(1-√17)/6，cosθ=(1+√17)/6
cos2θ=2(cosθ)^2-1=√17/9
或cosθ=(1-√17)/6，sinθ=(1+√17)/6
cos2θ=2(cosθ)^2-1=-√17/9
∴cos2θ=±√17/9