空间向量中 什麽是 内积 外积 ？概念 性质 公式 用法

Answer 1

向量外积
　　把向量外积定义为：
　　|a × b| = |a|�6�1|b|�6�1Sin<a, b>.
　　方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。
　　向量外积的代数运算形式为：
　　| e(i) e(j) e(k) |
　　a × b=| x(a) y(a) z(a) |
　　| x(b) y(b) z(b) |
　　这个行列式，按照第一行展开。e表示标准单位基。
　　分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
　　下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
　　1）外积的反对称性：
　　a × b = - b × a.
　　这由外积的定义是显然的。
　　2）内积（即数积、点积）的分配律：
　　a�6�1(b + c) = a�6�1b + a�6�1c,
　　(a + b)�6�1c = a�6�1c + b�6�1c.
　　这由内积的定义a�6�1b = |a|�6�1|b|�6�1Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。
　　3）混合积的性质：
　　定义(a×b)�6�1c为向量a, b, c的混合积，容易证明：
　　i) (a×b)�6�1c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
　　从而就推出：
　　ii) (a×b)�6�1c = a�6�1(b×c)
　　所以我们可以记a, b, c的混合积为(a,b,c)
　　由i)还可以推出：
　　iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
　　我们还有下面的一条显然的结论：
　　iv) 若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零向量。
　　下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
　　设r为空间任意向量，在r�6�1[a×(b + c)]里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
　　r�6�1[a×(b + c)]
　　= (r×a)�6�1(b + c)
　　= (r×a)�6�1b + (r×a)�6�1c
　　= r�6�1(a×b) + r�6�1(a×c)
　　= r�6�1(a×b + a×c)
　　移项，再利用数积分配律，得
　　r�6�1[a×(b + c) - (a×b + a×c)] = 0
　　这说明向量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个向量。按3)的iv)，这个向量必为零向量，即
　　a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
　　所以有
　　a×(b + c) = a×b + a×c.
　　证毕。