数学帝 请进! 高中数学题 求教

Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数X,恒有f(x+2)= -f(x),当x属于0到2时，f(x)=2X+X平方
问题 1 求证 f(x)是周期函数

答案我已经知道了 是 f(x+2), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x) 周期为4
我就是搞不懂为什么f(x+4)=-f(x+2)=f(x) 为什么最后等于f(x) 在线等 急! 谢谢大家

Answer 1

f(x)=-f(x+2)
f(x+2)=-f((x+2)+2) (将x+2当做x带入）
f(x)=f(x+4)
因此周期为4.
思路：求解周期函数 那么你必须先想到结果
即周期函数表示为 f（x）=f(x+a)
然后根据题目的条件进行转换。这里给出函数是奇函数，就考虑到迭代两次，将奇函数前面的负号去掉。

Answer 2

你好，你的问题就是这一步
f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

是怎么道出来的对吧。
其实就一句话，由已知得：对于任意X横有f（x+2）=-f（x）
我们要证明一个函数是周期函数，这是目标，那么因为周期函数定义为f（x）=f（x+A），只要具有这种形式的函数就是周期函数，那么我们的目标就变成了要试着把题中所给的函数化成这种形式。
先把（x+2）当一个整体，可以令t=x+2，那么由f（t+2）=-f（t）得f（x+4）=-f（x+2),下一步同理。令p=x+2即可导出。其中t、p都是为了区别与x的未知量符号，如果你导得清楚那么一直用x也可以。
总结起来就是目标意识，一步步换元，整体代换最终只要变成周期函数形式即可，懂了吗？

Answer 3

f(x+2)= -f(x)

将x换成x+2仍然成立
∴f(x+4)=-f(x+2) ①
原来的f(x+2)= -f(x)两边同时乘以-1
-f(x+2)=f(x) ②
①②联合推出
f(x+4)=f(x)
周期为4

Answer 4

因为f(x+2)= -f(x),所以-f(x+2)=f(x)
所以f(x+4)=f(x)