请教 定积分和不定积分 存在的条件为什么不一样？

Question

如题，定积分要求连续或者有界有限间断点，而不定积分必须连续，为什么？

Answer 1

因为定积分和不定积分是两个概念，两者之间没有联系。

若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其他没有关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

Answer 2

因为定积分和不定积分是两个概念，两者之间没有联系。
若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其他没有关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定积分∫f(x)
dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

Answer 3

定积分的定义是:先将有界闭区间细分成充分小的子区间;接着将在每个子区间上任取一点的函数值与所在子区间的长度相乘,并把它们都加在一起得到一个和,叫黎曼和;如果区间充分细分后黎曼和有极限,则定积分存在. 可积函数有界, 且不连续点的测度是零!

不定积分是被积函数的原函数; 因此要求被积函数必须是某个可微函数的导数. 这就是定积分与不定积分的区别.

Answer 4

谁说f(x)的原函数存在就要求f(x)连续的？？？胡说八道啊，只要f(x)不存在第一类间断点，就算不连续也有可能存在原函数定积分的条件也说错了，有界的情况下就算有无穷个间断点，只要是无穷可数个就就存在定积分

Answer 5

f(x)在区间I中的全体原函数称为f(x)在区间I中的不定积分。若f(x)存在第一类间断点的话，它就不存在原函数。所以就要求连续。