基础物理：气体动理论

Question

已知f（v）为N个（N很大）气体分子组成的系统的速率分布函数，则下式的物理意义是：

答案是：表示速率大于v0的所有分子的平均速率。
我不明白为什么？求解释

Answer 1

式子下面是v-概率图的大于v0的线下面积，即大于v0的分子总数与全部分子总数的比。
式子上面是v-概率图乘以以分子速率v为权形成函数的大于v0的线下面积，即每一个大于v0的分子计数1然后与分子速率v相乘的加和与全部分子总数的比。
相除得到[每一个大于v0的分子计数1然后与分子速率v相乘的加和]÷大于v0的分子总数=速率大于v0的所有分子的平均速率。

追问

第一句可以理解，但第二句不能理解
速率大于v0的所有分子的平均速率不是直接用式子上面的就可以了吗？

追答

不是啊。
式子上面等于：速率大于v0的所有分子的平均速率×速率大于v0的所有分子数与全部分子总数的比
=速率大于v0的所有分子的平均速率×速率大于v0的所有分子数占全部分子总数的比率

追问

追答

你的微积分学的什么啊，那个∫【v0，∞】vdv完全不知所云，不能这样记的。
不过速率大于v0的所有分子的平均速率×∫【v0，∞】f（v）dv确实等于∫【v0，∞】vf（v）dv 。
∫【v0，∞】f（v）dv确实是速率大于v0的所有分子数占全部分子总数的比率 。

追问

啊，我要死了
微积分早忘了
速率大于v0的所有分子的平均速率×∫【v0，∞】f（v）dv确实等于∫【v0，∞】vf（v）dv
为什么？想了又想，实在不能理解啊……

主要是分子不能理解啊

追答

首先你假定气体量较少为有限个，我们假定就是三个吧，测定每一个分子的速率，然后计算所有大于v0的分子数，比如有两个大于v0【v1，v2】，则大于V0的比例为2/3,再求大于v0的分子的平均速率为（v1+v2）/2。

进行推广：当总分子数为n，大于v0的分子数为i时，大于V0的比例为i/n,再求大于v0的分子的平均速率为∑vi/i。——注意了∑vi也就是速率大于v0的每一个分子的速度的积累。

微分化：把一个极小的速度范围【v，v+△v】（即△v→0）内的分子数计数，然后除以总分子数，即得到f（v)。
∫【v0，∞】f（v）dv就是速率大于v0的所有分子数除以总分子数。——积分其实就是一种无穷加和，也就是∑的推广。
∫【v0，∞】vf（v）dv就是速率大于v0的每一个分子的速度的积累除以总分子数。
于是∫【v0，∞】vf（v）dv/∫【v0，∞】f（v）dv就等于速率大于v0的每一个分子的速度的积累除以速率大于v0的所有分子数，也就是速率大于v0的所有分子的平均速度。