几道排列组合问题【高中理数】

Question

1 从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选取4个,作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为

2 空间10个点，其中恰有5个点共面，以每4个点为顶点做一个四面体，共可以做多少个四面体？

3
有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？
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Answer 1

1 答案选D 首先8选4，但是要扣除6个表面及6个对角面不构成四面体的12种情况，所以选择D
2

1 )
在另外五个点种任选4个点。C(5，4)=5
2)
五个共面的点中选一个，其他五个点中选3个，
C(5，1)*C(5，3)=50种
3）
五个共面的点中选2个点，其他五个点中选2个。
C(5，2)*C(5，2)=100种
4）
五个共面的点中选择3个点，其他五个点中选择一个
有C(5，3)*C(5，1)=50

总共有5+50+100+50=205种

3 1） 每个球有四种放法共有4^4=256种（放法）
2）恰有一个盒子不放球，于是有一个盒子有两个，另两个盒子一个盒子一个。
首先选出两个放在同一个盒子中的球，C（4,2)=6.选出不放球的盒子,C(4，1)=4
三的全排列A(3，3)=3!=6 共有6*4*6=144种
3）这种情况和第二种情况一模一样，也是144种
4）
有两个盒子不放球，可能出现两种情况
（1）只有一个盒子有球， 此时选出放球的盒子C(4，1)=4,有四种
（2）恰好两个盒子不放球。
1个盒子三个球，一个盒子1个球
C(4，2)*(C4，3)A(2，2)=6*4*2=48种
两盒子各有两个球
C(4，2)C(4，2)=6*6=36种
于是恰好两个盒子不放球有36+48=84种
于是两个盒子不放球共有4+84=88种。

Answer 2

1、
假设以A点分析，4点组成4个面的是ABCD，AA1B1B，AA1C1C，AA1D1D，AB1C1D，ABC1D1
所以能组成4面体的个数：C(8,4)-6，应该选B
2、
5个点共面（A），5个点不共面（B）
用排除法：
不能组成4面体的数量
A中选4个点，肯定不能组成4面体
C(5,4)=5
可以组成4面体的数量：C(10,4)-5=210-5=205
3、
1）每个球有4种选择，4个球，4^4=256
2）1个盒不放球，3个盒子放球，每个球有3种选择，4个球，C(4,3)*3^4=324
3）一个盒放2球，C(4,2)*C(4,1)，其他2个球有3种选择，3^2
排列数：C(4,2)*C(4,1)^3^2=216
4）两个盒不放球，每个球只有2种选择，C(4,2)*2^4=96