数学帝来看一下，跪求解！！！

Question

大家知道，在数列{an}中，若an=n，则sn=1+2+3+…+n=12n2+12n，若an=n2，则
sn=12+22+32+…+n2=13n3+12n2+16n，于是，猜想：若an=n3，则sn=13+23+33+…+n3=an4+bn3+cn2+dn．
问：（1）这种猜想，你认为正确吗？
（2）不管猜想是否正确，这个结论是通过什么推理方法得到的？
（3）如果结论正确，请用数学归纳法给予证明．

Answer 1

解：（1）猜想正确；
（2）这是一种类比推理的方法；
（3）由类比可猜想，a=1 4 ，n=1时，a+b+c+d=1；n=2时，16a+8b+4c+d=9；n=3时，81a+27b+9c+d=36
故解得a=1 4 ，b=1 2 ，c=1 4 ，∴sn=13+23+33+…+n3=1 4 n4+1 2 n3+1 4 n2
用数学归纳法证明：
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即13+23+33+…+k3=1 4 k4+1 2 k3+1 4 k2=[k(k+1) 2 ]2
则n=k+1时，左边=13+23+33+…+k3+（k+1）3
=1 4 k4+1 2 k3+1 4 k2+（k+1）3
=[k(k+1) 2 ]2+(k+1)3
=(k+1 2 )2(k2+4k+4)
=[(k+1)(k+2) 2 ]2
=右边，结论成立
由①②可知，sn=13+23+33+…+n3=1 4 n4+1 2 n3+1 4 n2，成立