二次函数y＝-1/2x²＋3/2+m-2的图像与x轴交于A，B两点与y轴交于C，且∠ACB＝90°

Question

二次函数y＝-1/2x²＋3/2+m-2的图像与x轴交于A，B两点与y轴交于C，且∠ACB＝90°
1.求这个二次函数解析式
2.设计两种方案：作一条与y轴不重合，与△ABC两边相交的直线，使截得的三角形与三角形ABC相似，并面积为三角形BOC的1/4.写出所截得的三角形三个顶点坐标

Answer 1

1.
设A(a, 0), B(b, 0), a < 0, b > 0
y = (-1/2)(x - a)(x - b) = -x²/2 + (a + b)x/2 -ab/2
-ab/2 = m - 2, ab = 2(2 - m) (i)
AC的斜率p = (m - 2 - 0)/(0 - a) = (2 - m)/a
BC的斜率q = (m - 2 - 0)/(0 - b) = (2 - m)/b
∠ACB＝90°, pq = -1 = (m - 2)²/(ab)
(m - 2)² = -ab =2(m - 2)
(m - 2)(m - 2 - 2) = 0
m = 4 (舍去m = 2, 此时C为原点)
y = -x²/2＋3x/2+ 2

2.
y = (-1/2)(x + 1)(x - 4)
A(-1, 0), B(4, 0)
OB = 4, OC = 2
三角形BOC面积S = (1/2)OB*OC = (1/2)*4*2 = 4
截得的三角形面积 = S/4 = 1
(1)
作一条与y轴平行的直线，与x轴交于M(m, 0), m > 0: 与BC交于N(m, n)
显然三角形BMN与三角形BCA相似
BC解析式: x/4 + y/2 = 1
x = m, y = (4 - m)/2
N(m, (4 - m)/2)
三角形BMN面积 = (1/2)*MB*MN = (1/2)(4 - m)(4 - m)/2 = (m - 4)²/4 = 1
m - 4 = ± 2
m = 2 (舍去m = 6 > 4)
三个顶点M(2, 0), N(2, 1), B(4, 0)

(2)
作一条与x轴平行的直线y = p, 0 < p < 2，直线与AC交于M(m, p), m < 0: 与BC交于N(n, p)
BC解析式: x/4 + y/2 = 1, y = p, x = 2(2 - p), N(2(2 - p), p)
AC解析式: x/(-1) + y/2 = 1, y = p, x = (p - 2)/2, M(p - 2)/2, p)
显然三角形CMN与三角形CAB相似
MN = 2(2 - p) - (p - 2)/2 = 5(2 - p)/2
MN上的高h = C的纵坐标 - M的纵坐标 = 2 - p
三角形CMN面积 = (1/2)MN*h = 5(2 -p)²/4 = 1
p - 2 = ± 2√5/5
p = 2 - 2√5/5 (舍去p = 2 + 2√5/5 > 2)
M(-√5/5, 2 - 2√5/5), N(4√5/5, 2 - 2√5/5), C(0, 2)

Answer 2

1.根据RT三角形斜边中线等于斜边一半。c点坐标（0，m-2），斜边中点（3/2,0）根据对称轴得出。-1/2x²＋3/2+m-2=0的两根之和3，两根之积-2（m-2)
得出4（（m-2）²+9/4）=9-4（-2（m-2) ）得4（m-2）²=8（m-2) 得m=2（不合题意）或m=4。

2.代入m=4，得出A（-1,0）B（4,0）C（0,2）三角形BOC的1/4有4种截法根据相似比1:2得出：
第一种：BO中点竖直直线一条，
第二种：BOBC平行AC斜线一条，
第三种：水平直线一条，
第四种：水平斜向上直线一条，