求解一道不定积分题。

Question

[4/（1-x²）] · f(x) = d[ f(x) ]² / dx ，且f(0)=0，则f(x) = ?
谢谢！

Answer 1

解：∵d[ f(x) ]² / dx=2f(x)d(f(x))/dx
∴原式：2[2/(1-x^2)]*f(x)=2f(x)*d(f(x))/dx
即：d(f(x))/dx=2/(1-x^2)或f(x)=0
当f(x)≠0时：
两边积分：f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)+C
而：f(0)=0
∴f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)或f(x)=0

Answer 2

d[ f(x) ]² / dx
= 2f(x) * f'(x)

等式两边约去f(x)
得到 f'(x) = 2/(1-x^2)

积分得到
2 ArcTanh[x]

注意到不是tan,是多了一个h，这个函数叫双曲反正切函数，这个函数通过查积分表得到。

追问

呃，这个太难了，大学高数目前还没学过带H的，哈哈~~

追答

我刚才又查了一下数学辞典，ln(1+x)-ln(1-x) 和 ArcTanh[x] 是一样函数的不同写法。

追问

谢谢您这么上心，因为我没学过带H的，所以不太了解，虽然您的是正确答案，是我没能力辨别出来，不好意思啊。

Answer 3

df(x)/dx=4[1/(1+x)+1/(1-x)]
f(x)=4[ln(1+x)-ln(1-x)]+c
0=0+c c=0
f(x)=4[ln(1+x)-ln(1-x)]

追问

不好意思啊，这是道选择题，正确答案是帷幄致樽的回答。

Answer 4

把d[f(x)]^2展开
带f(0)=0得
2arcsinx

∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

追问

不好意思啊，这是道选择题，正确答案是帷幄致樽的回答。