如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与X轴交于A(1,0)B(4,0)两点，与y轴交于C(0,2)，连接AC、BC。(1)求抛物线。

Question

（2）BC的垂直平分线交抛物线于D，E两点，求直线DE的解析式。
（3）若点P在抛物线的对称轴上，且角CPB=角CAB，求出所有满足条件的P点坐标。（图我省略了，各位仁兄一画便知）

Answer 1

（1）设y=a（x-1）（x-4）

         代入（0,2）

        2=4a

        a=1/2

        y=1/2（x-1）（x-4）

（2）
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．
∴△BMF∽△BCO，∴MFCO＝BFBO＝BMBC＝12．
∵B(4，0)，C(0，2)，   ∴CO＝2，BO＝4，
∴MF＝1，BF＝2，
∴M(2，1)                          
∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，
设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，
在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，
∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝32，∴N(32，0)  
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：
2k＋b＝132k＋b＝0，解得：k＝2b＝－3．
∴直线DE的解析式为y＝2x－3．

（3）它的对称轴为直线x＝52．
① 如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G(52，2)，
以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，
则∠CP1B＝∠CAB．                
GA＝(52－1)2＋22＝52，
∴点P1的坐标为(52，－12)            
② 如图4，由(2)得：BN＝52，∴BN＝BG，
∴G、N关于直线BC对称．        
∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称．  
⊙N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B＝∠CAB．              
设对称轴与x轴交于点H，则NH＝52－32＝1．
∴HP2＝(52)2－12＝212，
∴点P2的坐标为(52，212)．
综上所述，当 点的坐标为(52，－12)或(52，212)时，∠CPB＝∠CAB．