已知抛物线y^2=4x的焦点为F。（1）若直线l过点M（4，0），且F到直线l的距离为2，求l的方程（2)设A，B

Question

为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若AB中点的横坐标为2，求证：线段AB的垂直平分线恰好过定点

Answer 1

（1）2p=4 ，p/2=1 ，因此 F（1，0），
设 L 方程为 y=k(x-4) ，由 F 到直线距离为 d=| -3k | / √(k^2+1)=2 ，
解得 k= ±2√5/5 ，所以 L 方程为 y=2√5/5*(x-4) 或 y= -2√5/5*(x-4) 。
（2）设 A（y1^2/4 ，y1），B（y2^2/4，y2），AB 中点为 （2，b），
由已知得 y1^2/4+y2^2/4=4 ，因此 y1^2+y2^2=16 ，又 y1+y2=2b ，
因此 kAB=(y2-y1)/(y2^2/4-y1^2/4)=4/(y1+y2)=2/b ，
所以 AB 的垂直平分线方程为 y-b= -b/2*(x-2) ，
化简得 bx+2y-4b=0 ，
可以看出，此直线恒过定点（4，0）。