一道高二定积分数学题。求直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x^2+1所围城的曲边梯形的面积。黄绿

Question

一道高二定积分数学题。求直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x^2+1所围城的曲边梯形的面积。黄绿色部分需要详细解释，谢谢！

Answer 1

令f(x)=x2+1.将区间[0, 2]等分成n个小区间，分点依次为
Xo=0，X1=n/2，X2=n/4，……，Xn-1=n/2（n-1）,Xn=2.
第i个区间为[n/2i- 2，n/2i]，(i=1, 2, ……n），每个区间长度为△x=n/2i-n/(2i-2)=n/2
取ξ;=n/2i(i=1, 2……n)，Sn=3/4(2+n/3+n^2/1)+2
当n趋向于无穷大，即△x趋向于0时，Sn趋向于S,
从而有S= 3/14
所以由直线x=0，x=2, y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形的面积为3/14

Answer 2

F(x)＝∫(x²+1)dx
＝(1/3)x^3+x+C.
∴S＝F(2)-F(0)
＝8/3+2
＝14/3。

Answer 3

F(x)＝∫(x²+1)dx
＝(1/3)x^3+x+C.
∴S＝F(2)-F(0)
＝8/3+2
＝14/3。