如何用真值表来判断命题的真假

Question

会画真值表 但不会判断其命题的真假性高手举举例教教

Answer 1

　若p、q 表示命题，我们把“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题分别简称为“或”命题、“且”命题、“非”命题。要正确判断“或”、“且”、“非”命题的真假，应首先对这三种复合命题进行正确理解。下面举例说明，仅供参考。
　　1、含“或”、“且”、“非”的命题有的并不是复合命题，如：
　　（1）实数的平方是正数或零。
　　（2）若x>1 或x<-1 ，则x>0 。
　　（3） 的解是x>-2 且x<3。
　　（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
　　（5）非零实数的零次幂等于1。
　　很容易看出，（1）、（3）、（4）、（5）是真命题，（2）是假命题。但若将（1）、（2）看成“或”命题，便会得出与命题真值表相矛盾的结论。因为“实数的平方是正数”，“实数的平方是零”，“若x<-1 则x>0 ”都是假命题，“若x>1 ，则x>0 ”是真命题。同样地，将（3）、（4）看作是“且”命题，也得出与真值表相矛盾的结论。因为“ 的解是x>-2 ”“ 的解是x<3” ，“一组对边平行的四边形是平行四边形”，“一组对边相等的四边形是平行四边形”都是假命题，而（5）中的“非”是否定“零实数”。所以以上5个命题都是简单命题。
　　2、不含“或”、“且”、“非”的命题有可能是复合命题。如：
　　（6） 3≥2
（7）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形。
　　它们都不含“或”、“且”、“非”，但（6）等价于“3〉2或3=2 ”，（7）等价于“有两个角为45°的三角形既是等腰三角形又是直角三角形”，所以它们分别是“或”命题、“且”命题。　因此判断一个命题是否为“或”命题、“且”命题、“非”命题的复合命题，既要看它是否含有“或”、“且”、“非”，又要看它是否隐含着“或”、“且”、“非”，还要看“或”、“且”、“非”是否为两个命题之间的联结词或某一命题的否定；既要与集合运算中的“并”、“交”、“补”联系起来，又要与“或”、“且”、“非”命题的真值表联系起来。
3、如何理解逻辑联结词“或”，“且”，“非”
（1）对“或”的理解：“或”与生活用语中的“或”含义不同，生活用语中“或”是两者必居其一，而不居其二；而逻辑联结词中的“或”，可以两者都选，但不是两者必选，而是两者至少选一个，这与并集中的“或”有相同之处。A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝，A∪B中的“或”指“x∈A”，“x∈B”其中至少有一个成立。
（2）对“且”的理解：“且”可以联想到交集的概念。A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝，A∩B中的“且”是指“x∈A”“x∈B”两个条件都要满足的意思，即x既属于集合A，同时又属于集合B。
（3）对“非”的理解：“非”字有否定的意思。非p也称为命题p的否定。由“非”可以联想到补集的概念。 UA＝｛x｜x∈U且x A｝。
　4、复合命题真假的判定
（1）首先要理解真值表的含义，真值表是根据简单命题的真假判断由这些简单命题与逻辑联结词构成的复合命题真假的工具，它并不涉及简单命题之间的具体内容。
如p：“圆周率π是无理数”，q:“1是方程x2＋2x－3＝0的根”。尽管命题p与q的具体内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断命题“p或q”的真假。
（2）其次在理解的基础上熟记真值表。为了更好地记住真值表，可用如下口诀：“p或q——一真则真”(命题p与命题q两个命题只要有一个命题是真命题，复合命题“p或q”就是真命题)；“p且q——一假则假”(命题p与命题q两个命题只要有一个命题是假命题，复合命题“p且q”就是假命题)；“非p——真假相对”(p真则非p假，p假则非p真)。
判断下列命题的真假：
（1）3≥3 （2）对一切实数
以（2）为例
第一步：把命题写成“对一切实数 或 ”
是p或q形式的复合命题
第二步：其中p是“对一切实数 ”为真命题；q是“对一切实数 ”是假命题。
第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数 ”是真命题。判断复合命题真假的步骤：
（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式
（2）判断简单命题的真假；
（3）根据真值表判断复合命题的真假。
5、否命题与命题的否定不同
否命题是将原命题的“条件”和“结论”分别否定后得到的命题。
命题的否定是将原命题的结论否定后所得的命题。
命题p：“若x=2且y=3，则x+y=5”的否命题和“┐p”命题是什么？
否命题是：“若 ”。
“┐p”是：“若 ”。
写一个命题的否命题时(即非p)，往往需要对一些词语进行否定。
在这里一些词语的否定必须掌握，否则在表达否命题和命题的否命题时就会出错误。
命题：p：“所有三角形的内角和是180°”，它的“┐p”命题是什么？
┐p：有些三角形的内角和不是180°。