如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式, 可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).
由A²-A = 2E, 知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.
注意到该多项式没有重根, 而最小多项式必为化零多项式的因式, 可知A的最小多项式没有重根.
因此A可对角化.
如果是没学Jordan标准型, 可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数 = 代数重数.
这里特征值λ的几何重数是指AX = λX的解空间维数,
代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数 ≤ 代数重数).
因为属于不同特征值的特征向量线性无关, 上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量.
由A²-A = 2E, 知(A+E)(A-2E) = 0.
于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0, 即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n.
-1作为A的特征值的几何重数 = n-r(A+E), 而2的几何重数 = n-r(A-2E).
于是由n ≥ -1的代数重数+2的代数重数
≥ -1的几何重数+2的几何重数
= n-r(A+E)+n-r(A-2E)
≥ n,
可知A没有-1, 2以外的特征值, 且-1和2的几何重数 = 代数重数, 因此A可对角化.
证明题:设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.
矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).由A²-A = 2E, 知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.注意到该多项式没有重根, 而最小多项式必为化零多项式的因式, 可知A的最小多项式没有重根.因此A可对角化.如果是没学Jordan标准型, 可以用:...
A为n阶矩阵,且A^2-A=2E,证明A可以对角化
再答： 不管n多大，A的特征值只能是2或-1，没有别的根。A的极小多项式是x^2-x-2的因子，没有重根。 矩阵可对角化等价于极小多项式没有重根，这个是很基本的结论，用Jordan标准型容易证明。再问： 极小多项式没有重根可以推出矩阵的对角化，不能等价。。 我具体是这里不懂（A的极小多项式是x^...
A是n阶矩阵,且满足A^2-2A=O(O是零矩阵),证明,A可对角化。这个怎么做呀...
思路：A有两个特征值，只要证明属于这两个特征值的不相关的特征向量有n个就可以。如下：
n阶方阵A,如果A^2+A=2E,证明:A能与对角阵相似?有谁知道啊
A^2+A-2E=(A-E)(A+2E)，A的极小多项式必定是这个多项式的因子，没有重根，故A可对角化。楼上的做法前一半正确，后一半不对，行列式为0是必然的，要分析矩阵的元素才能得到矛盾。
n阶方阵A,如果A^2+A=2E,证明:A能与对角阵相似?有谁知道啊
如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式，可以用：矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的)。由A²-A=2E，知x²-x-2=(x-2)(x+1)是A的一个化零多项式。注意到该多项式没有重根。而最小多项式必为化零多项式的因式，可知A的最小多项式没有重根。因此A...
设A为n阶方阵,E为N阶单位矩阵,且A^2-A=2E,证明则r(2E-A)+r(E+A)=n
如果知道特征值的话, A的极小多项式没有重根等价于A可对角化, 直接得到结论 如果不知道特征值, 那么用初等变换证明diag(2E-A,E+A)可以变换到diag(E,0)对于伴随矩阵的问题, 利用AA*=|A|E, 把A*视为方程组AX=|A|E的解, 然后根据秩进行讨论即可 ...
已知n阶方阵A满足A^2-3A+2E=0,求证A相似于一个对角阵
题目给出的条件说明特征值只有1或2，且有n个线性无关的特征向量，所以A一定相似于对角阵。
设A为n阶方阵,且A^2=A,求证2E-A可逆,并求出其逆
因为 A^2-A=0 所以 A(A-2E)+(A-2E) +2E = 0 所以 (A+E)(2E-A) = 2E 所以 2E-A 可逆,且 (2E-A)^-1 = (1\/2)(A+E)
设N阶方阵满足A^2-2A-E=0,证明A+E可逆,并求其逆
根据定义啊。定义直接写明了推导的。a*可逆 a*的逆矩阵=i deta*=|a|^(n-1)
设n阶方阵A满足A平方-A-2E=0.证明A及A+2E均可逆?
移项：A^2=A+2E 两边同乘以A^(-2)就得到：E=（A+2E)^A*(-2)
