设函数f(x)=1/3x^3-(1-a)x^2+4ax+24a,其中常数a>1

Question

(1)讨论f(x)的单调性；（2）若当x>=0时，f（x)>0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f‘x=x^2-2(1-a)x+4ax^2-2(1-a)x+4a=0
b^2-4ac=4(1-a)^2-16a=4a^2-24a+4=4(a^2-6a+9)-32=4(a-3)^2-32
当4(a-3)^2-32<0
3-2根号2<a<3+2根号2,a>1
,所以1<a<3+2根号2时，x^2-2(1-a)x+4a>0,f(x)是增函数
当4(a-3)^2-32>=0时，a>=3+2根号2,
有实数根x1=1-a+根号(a^2-6a+1),x2=1-a-根号(a^2-6a+1)
f"xx=2x-2(1-a)
x1=1-a+根号(a^2-6a+1)代入f’‘xx>=0
x2=1-a-根号(a^2-6a+1)代入f“xx<=0
所以当a^2-6a+1=0 a=3+2根号2时变曲点，x=1-a
f”'(x)=2>0,
函数是增函数
当a^2-6a+1>0时，函数在(-无穷大，1-a-根号(a^2-6a+1)］（1-a+根号(a^2-6a+1)，无穷大)上是减函数
在[1-a-根号(a^2-6a+1)，1-a+根号(a^2-6a+1)]间是增函数
2）当x>=0时f（x
)>0 恒成立
显然当a^2-6a+1>0不可能使f（x )>0
恒成立。
当a^2-6a+1<=0时，函数是增函数，所以只要f(0)>0 24a>0
a>1所以恒成立
当1<a<=3+2根号2时x>=0时f（x )>0 恒成立

Answer 2

解：（1）f'(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
a>1,2a>2
∴x<2,x>2a,f'(x)>0,增函数
2<x<2a,f'(x)<0,减函数（2） ∴x=2是极大值，x=2a是极小值
∴最小值在极小值点或边界取到
∴x=0和x=2a时，只要f(x)>0即可
f(0)=24a>=0,a>0
f(2a)=(-4/3)a^3+4a^2+24a>0
a^3-3a^2-18a<0
a(a-6)(a+3)<0
a<-3,0<a<6
综上所述：
1<a<6