如何判断三角形的重心在哪儿？

Answer 1

已知△ABC,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点.那么AD、BE、CF三线共点,即重心G.现在证明DG:AG=1:2

证明：

连结EF交AD于M,则M为AD中点

EF为△ABC的中位线,

所以EF‖BC且EF:BC=1:2

由平行线分线段成比例定理有：

GM:MD=EF:BC=1:2

设GM=x,那么GD=2x

DM=GM+GD=3x

AD=2GM=6x

AG=AD-GD=4x

所以GD:AD=2x:4x=1:2

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。