数学难题，求解。 已知，如图，在平面直角坐标系中，RT三角形ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y

Question

数学难题，求解。
已知，如图，在平面直角坐标系中，RT三角形ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A(0，2)，B(-1，0)。
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设点P(m，n)是抛物线在第一像限部分上的点，三角形PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并数使S最大时点P的坐标；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得三角形MPC(P为上述(2)问中使S最大时的点)为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标，若不存在，请说明理由
(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得三角形MPC(P为(2)问中使S最大时的点)为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

⑴OA=2，OB=1，
易得：RTΔOAB∽RTΔOCA，∴OA/OC=OB/OA，∴OC=4，C(4，0)，
⑵抛物线过C、B可设为y=a(x-4)(x+1)，又过(0，2)得：2=a*(-4)，a=-1/2，
∴解析式为：y=-1/2(X^2-3X-4)=-1/2(X-3/2)^2+25/8，对称轴：X=3/2；
⑶直线AC解析式为：Y=-1/2X+2，过P作PQ⊥X轴于Q，交AC于D，
则D(m，-1/2m+2)，又P(m，-1/2m^2+3/4m+2)，
∴DP=-1/2m^2+2m，
∴SΔPAC=SΔPDA+SΔPDC=1/2DP(AQ+CQ)=-m^2+4m=-(m-2)^2+4，
∴当m=2时，S最大=4；此时P(2，3/2)；
⑷CQ=2，PQ=3/2，∴PA=5/2，设对称轴交X轴于E，
QE=3/2，
①当PM=PC=5/2时，√(PM^2-QE^2)=√6，
∴M(3/2，3/2±√6)，
②当CP=CM=5/2时，∵EM=OC-OE=5/2，
∴M(3/2，0)
③MC=MP，设CP中点为R，设M(3/2，K)，
∴K^2+(5/2)^2=(1/2)^2+(3/2-K)^2，K=-5/4，
M(3/2，-5/4)，

综上所述，满足条件的M的四个点：
M1(3/2，3/2+√6)，M2(3/2，3/2-√6)，
M3(3/2，-5/4)，M4(3/2，0)。

Answer 2

高三的题，忘得差不多了，第一问关键就是求C的坐标，也就是OC的长度，三角形AOB~三角形CAB~三角形COA，AO/CO=OB/OA ，得到CO=4.所以C的坐标是（0,4），三个点的坐标都有了，解析式也就出来了吧，剩下的就不献丑了，嘿嘿。。

追问

哥，我读初三…

追答

现在初三都学这了，这么厉害了？？

Answer 3

此题不难，第一步求c点坐标，由题意可得直线AB为y=2x 2 ，直线AC与AB垂直可得AC斜率为-1/2 ，且过A点，得到直线AC为y=-1/2x 2 ，与x轴交点C为(4,0)，设抛物线为y=ax^2 bx c ，代入A,B,C三点坐标得到抛物线为y=-2(x-1)^2 4 ，顶点为(1,4) 第二问：因为点p(m,n)在抛物线第一象限，所以0<m<4 ,0<n<4 ，代点p入抛物线得n=-2(m-1)^2 4(0<m<4)，三角形PAC面积S=1/ 2•|BC|•n =-5(m-1)^2 10，所以S最大时m=1 则n=4，所以P为（1,4） 第三问，存在这样的M点！由题意P为（1,4）C为（4,0），得到直线PC为y=-4/ 3x 16/3 ，PC中点为（5/2,2），所以PC中垂线斜率为3/4 ，得到中垂线为y=3/4x 1/8 ，而抛物线对称轴为X=1，中垂线与X=1交点即为所求点M，得到M(1,7/8)，解毕！注意思路是利用中垂线的性质得到等腰三角形！

Answer 4

Answer 5

⑴y＝－1／2X²＋3／2X＋2 ⑵s＝－m²＋4m、当m＝2时、s＝4 ⑶ p(2.3)、轴x＝3／2,带入可知

Answer 6

(1)y=-1/2(x+1)(x-4)
(2)AC直线为x+2y-4=0
所以根据点到直线的具体公式 而且P点在AC直线上方
所以 P到AC的距离为 (m+2n-4)/√(1^2+2^2)
S=(m+2n-4)/√(1^2+2^2)*2√5
=2m+4n-8
n=(-1/2)m^2+(3/2)m+2
S=2m-2m^2+6m+8-8
=-2m^2+8m
当m=2时S最大为8 P（2,3）
（3）对称轴为x=3/2
(3/2,3-√51/2) (3/2,3+√51)