如何用微积分推出球体的表面积,体积公式

Question

希望高人指点.只借助圆周率,园周长,面积公式.和微积分

Answer 1

设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2(2(pi)(R^2-x^2))
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.

球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)

Answer 2

V=(4/3)πr^3
S=4πr^2

由此可以看出
dV/dr=S，
即，对体积进行微分，可得其表面积。

对于圆
S=πr^2
C=πr
dS/dr=C，
即，对面积进行微分，也可得到圆的周长。
回答者：lqanlf - 魔法师 五级 5-14 12:31
高等数学书上有
回答者：heroheros - 初入江湖 二级 5-14 12:31
给你两种初等证明
1 用物理方法证明 可推出椭球的体积公式（球是椭球一种）见http://w54737.s35.ufhost.com/w/j/tq.htm
2 见http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=669

注 1“祖恒原理”,“幂势既同则积不容异”,即等高处横 截面积都相等的两个几何体的体积必相等.
2 求得球体积后将球分为无限个三棱锥，所以有
V=S*R/3 可以用体积求得表面积
3三棱锥体积公式 V＝S＊H／34∏R^3)/3
至于如何证明，可以用微积分来证明。但是很早之前，我国著名的数学家祖冲之创造出了“牟合方盖”的球体体积求算思路，但最终未能完成，后由他的儿子祖暅沿着父亲的思路锲而不舍地迈进，终于攻下了这一难度极高的课题，得到了著名的等积原理“缘幂势既同，则积不容异”(两个几何体在任何等高处的截面积都相等，则两个几何体的体积也相等，即胖子理论)，并由此而求得了球体体积公式。具体证明过程清参看下面网址

参考资料：http://episte.math.ntu.edu

Answer 3

V=(4/3)πr^3
S=4πr^2

由此可以看出
dV/dr=S，
即，对体积进行微分，可得其表面积。

对于圆
S=πr^2
C=πr
dS/dr=C，
即，对面积进行微分，也可得到圆的周长。

Answer 4

给你两种初等证明
1 用物理方法证明 可推出椭球的体积公式（球是椭球一种）见http://w54737.s35.ufhost.com/w/j/tq.htm
2 见http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=669

注 1“祖恒原理”,“幂势既同则积不容异”,即等高处横 截面积都相等的两个几何体的体积必相等.
2 求得球体积后将球分为无限个三棱锥，所以有
V=S*R/3 可以用体积求得表面积
3三棱锥体积公式 V＝S＊H／34∏R^3)/3
至于如何证明，可以用微积分来证明。但是很早之前，我国著名的数学家祖冲之创造出了“牟合方盖”的球体体积求算思路，但最终未能完成，后由他的儿子祖暅沿着父亲的思路锲而不舍地迈进，终于攻下了这一难度极高的课题，得到了著名的等积原理“缘幂势既同，则积不容异”(两个几何体在任何等高处的截面积都相等，则两个几何体的体积也相等，即胖子理论)，并由此而求得了球体体积公式。具体证明过程清参看下面网址

参考资料：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_01_4_01/page2.html

Answer 5

用球坐标三重积分，都可以积出来