高数空间解析几何问题

Question

求详细解法

Answer 1

求过直线L：(x-1)/4=(y-2)/5=(z-3)/6，且与平面2x+5y+3z-1=0垂直的平面方程。
解：点(1，2，3)在直线L上，直线L在所求平面上，因此点(1，2，3)也在所求平面上；因此可设所求平面的方程为：A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0...........(1)
直线L的方向矢量a={4，5，6}；已知平面∏的法向矢量b={2，5，3}；
因此所求平面的法向矢量N={A，B，C}垂直于a和b；即
∣ i j k∣
N=a×b=∣4 5 6∣=(15-30)i-(12-12)j+(20-10)k=-15i-0j+10k
∣2 5 3 ∣
即A=-15，B=0，C=10，代入(1)式得：-15(x-1)+10(z-3)=-15x+10z-15=0
化小系数得：3x-2z+3=0为所求平面的方程。

追问

为什么直线L在所求直线上？

追答

为什么直线L在所求直线上？

题目不是要求“过直线L”吗？所谓“过直线”就是该直线要在平面上；
如果直线是与平面相交，那不叫“过”，那叫“交”，而且要给出交点，
否则没法作。

Answer 2

设所求平面为ax+by+cz+d=0，则它的法向量为(a,b,c)
与已知直线的方向向量及已知平面的法向量都垂直，可得：
4a+5b+6c=0
2a+5b+3c=0
过直线上点(1,2,3)得a+2b+3c+d=0
解此方程组得a:b:c:d=3:0:-2:3
所求平面为3x-2z+3=0