已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），求： （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）设g（x）=|f（x）|，x...

Question

已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），求：
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

解：

（Ⅰ）f（x）=x³-3ax（a∈R）

∵ å½“a=1时，f′（x）=3x²-3

令f′（x）=0，得x=-1或x=1

当f′（x）＜0，即x∈（-1，1）时，f（x）为减函数；

当f′（x）＞0，即x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）时，f（x）为增函数．

∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1]，[1，+∞）上单调递增

∴f（x）的极小值在x=1处取得，极小值为f（1）=-2

 

（Ⅱ）

 

 

参考答案来源：http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/4a3648f2-3d17-476e-90ae-dfbd342f638d?confirm=0

 

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Answer 2

【1】
当a=1时，f(x)=x³－3x，得：
f'(x)=3x²－3=3(x－1)(x＋1)
则函数f(x)的极小值是f(1)=－2
【2】
f(x)=x³－3ax
f'(x)=3x²－3a=3(x²－a)
函数f(x)是奇函数，则：
(1)若a≤0，此时函数f(x)在[－1，1]上递增，
f(－1)=3a－1、f(1)=1－3a
此时得：F(a)=1－3a
(2)若0<a≤1/4，则：f(x)在[－1，－√a]上递增，在[－√a，√a]上递减，在[√a，1]上递增。
且：
f(－1)=3a－1、f(－√a)=2a√a、f(√a)=－2a√a、f(1)=1－3a
而此时有：[f(－√a)]²－[f(1)]²=(a－1)²(4a－1)>0
即此时得：F(a)=2a√a
(3)若a>1/4，同理得：F(a)=3a－1

从而有：
. { 1－3a (a≤0)
F(a)={ 2a√a (0<a≤1/4)
. { 3a－1 (a>1/4)

Answer 3

解答如下，请采纳