排列组合问题，用插空法怎么做？

Question

某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7 位员工中的甲乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）种
怎么回事？？为什么错了啊。求改正 正确答案是1008

Answer 1

1、先排除乙外的6个人，符合条件的排法为：不限条件的总排法-丙排在第一个的排法-丁排在最后一个的排法=P(6,6)-P(5,5)-P(5,5)=720-120-120=480。
2、乙与甲相邻，对于上面的每个排列，乙都有两种插空方法，即排在甲前面一天或后面一天。
因此，总排法为480*2=960

追问

答案好像是1008... 我算的也是960

追答

是啊，把乙、丙、丁都用插空法做出来也是960。不知错在哪儿了？
1、先排除乙、丙、丁的4个人：一个有P(4,4)=24
2、再排丙，前面4个人有5个空，不能排在第1个，因此有4种插空法，24*4=96
3、再排丁，前面5个人有6个空，不能排在最后1个，因此有5种插空法，96*5=480
4、乙，与四相邻，有2种插空法，480*2=960

追问

答案竟然有960 然后我果断选上了 果断错了...

追答

确实错了
第一种方法中，第一步多减了一个情况，就是丙排在第一个并且丁排排一最后一个的排法。应该修改为：P(6,6)-P(5,5)-P(5,5)+P(4,4)=504,因此第二步的结果为1008.

而第二种方法中：
第2步中，还有一种情况，即丙虽然排在第一个，但第3步是丁插空时插入到第一个。
因此，第3步还要加回，丁排第一，丙排第二的情况，P(4,4)=24。
即第三步的结果为480+24=5004
第四步的结果为5004*2=1008

看来犯错有时也会殊途同归，哈哈！

看了一下你的算法中，丙不在最后时有两种情况，第一种情况就是你所说的丙插在中间的3个位置，第二种是，这一步中丙虽然插在了前面，但下一步中丁插在了丙的前面，这显然也符合题目要求。所以括号里少了个加1。

追问

哦！！！ 丙在最前面的时候，丁也可以在前面！ 神人啊 佩服佩服！ 感激不尽啊。