已知函数f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx(a＞0)

Question

求a∈[1/2,1]，证明 对任意x∈[1,2]恒有f(x)+3/2≥0

Answer 1

函数f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx

故f‘（x）=ax-（a+1）+1/x=（x-1）（ax-1）/x
a∈[1/2,1] 所以1/a∈[1,2]

令f‘（x）=ax-（a+1）+1/x=（x-1）（ax-1）/x>0 得到0<x<1或x>1/a
令f‘（x）=ax-（a+1）+1/x=（x-1）（ax-1）/x<0 得到1<x<1/a

所以f（x）在0<x<1或x>1/a上单调递增，在1<x<1/a单调递减
当x∈[1,2]时，f（x）在[1,1/a)上单调递减，在（1/a，2]上单调递增
故此时f（x）有最小值f（1/a）=-1-1/（2a）-lna
再令g（a）=-1-1/（2a）-lna
g’（a）=（1-2a）/2a^2
当a∈[1/2,1]时，g‘（a）<=0恒成立，故g（a）在a∈[1/2,1]上单调递减
所以g（a）有最小值g（1）=-3/2
所以-1-1/（2a）-lna>=-3/2
即f（x）>=-3/2
故对任意x∈[1,2]恒有f(x)+3/2≥0

Answer 2

f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx
所以
f‘(x)=ax-(a+1)+1/x=(ax-1)(x-1)/x
因为a∈[1/2,1]，所以在x∈[1,1/a]减，在,[1/a，2]上增，最小值为f(1/a)=-1/2a-lna-1
而在a∈[1/2,1]，它单调减，因此f(1/a）>=-1/2-1=-3/2
所以 对任意x∈[1,2]恒有f(x)+3/2≥0