在扇形OAB中角AOB=60度，C为弧AB(不重合)上的一个动点.若OC向量=xOA向量+yOB向量，μ=x+py(p>0)存在最大

Question

在扇形OAB中角AOB=60度，C为弧AB(不重合)上的一个动点.若OC向量=xOA向量+yOB向量，μ=x+py(p>0)存在最大值，求p的取值范围？

Answer 1

如图，设 ∠COA=θ ，则 0°<θ<60° 。设 |OA|=|OB|=|OC|=r（r>0），已知 OA*OB=1/2*r^2 ，

所以 OC*OA=|OC|*|OA|*cosθ ，即 x*r^2+1/2*y*r^2=r^2*cosθ ，

由此得 x+1/2*y=cosθ ，

同理由 OC*OB=|OC|*|OB|*cos(60°-θ) 得 1/2*x+y=cos(60°-θ) ，

由以上两式可解得 x=[4cosθ-2cos(60°-θ)]/3 ，y=[4cos(60°-θ)-2cosθ]/3 ，

所以 3μ=3(x+py)=(4-2p)cosθ+(4p-2)cos(60°-θ)

                   =3cosθ+√3*(2p-1)sinθ ，

                   =√[9+3(2p-1)^2]*sin(θ+α) ，

其中 sinα=3/√[9+3(2p-1)^2] ，cosα=(2p-1)/√[3+(2p-1)^2] 。

由于上式有最大值，因此 sin(θ+α) 可以取 1 ，也就是 θ+α 可以等于 90° ，

由于 0°<θ<60° ，所以 30°<α<90° ，

那么 1/2<sinα<1 ，即 1/2<3/√[9+3(2p-1)^2]<1 ，

解得 -1<p<2 且 p ≠ 1/2 。

来自：求助得到的回答