在扇形OAB中角AOB=60C为弧AB上的一个动点.若OC向量=xOA向量+yOB向量

Question

则x+3y的取值范围多少 急急急谢谢了

Answer 1

由题意：OC=xOA+yOB，令向量OC与OA的夹角为a，a∈[0,π/3]，则：cosa∈[1/2,1]
令扇形所在圆的半径为R。
则：OC dot OA=R^2cosa=(xOA+yOB) dot OA=xR^2+y(OA dot OB)=xR^2+yR^2/2
即：cosa=x+y/2，所以：1/2≤x+y/2≤1，即：1≤2x+y≤2--------(1)
OC dot OB=R^2cos(π/3-a)=(xOA+yOB) dot OB=yR^2+x(OA dot OB)=yR^2+xR^2/2
即：cos(π/3-a)=x/2+y，而：π/3-a∈[0,π/3]，故：cos(π/3-a)∈[1/2,1]
所以：1/2≤x/2+y≤1，即：1≤x+2y≤2--------(2)
(1)*2得：2≤4x+2y≤4，即：-4≤-4x-2y≤-2----(3)
(2)+(3)得：-3≤-3x≤0，即：0≤x≤1
(2)*2得：2≤2x+4y≤4，即：-4≤-2x-4y≤-2-----(4)
(1)+(4)得：-3≤-3y≤0，即：0≤y≤1
所以：0≤x+3y≤4，仅供参考。

Answer 2

由题意：OC=xOA+yOB，令向量OC与OA的夹角为a，a∈[0,π/3]，则：cosa∈[1/2,1]
令扇形所在圆的半径为R。
则：OC * OA=R^2cosa=(xOA+yOB)* OA=xR^2+y(OA *OB)=xR^2+yR^2/2
即：cosa=x+y/2，所以：1/2≤x+y/2≤1，即：1≤2x+y≤2--------(1)
OC * OB=R^2cos(π/3-a)=(xOA+yOB) * OB=yR^2+x(OA * OB)=yR^2+xR^2/2
即：cos(π/3-a)=x/2+y，而：π/3-a∈[0,π/3]，故：cos(π/3-a)∈[1/2,1],1/2≤x/2+y≤1
x+3y=-2/3(x+y/2)+10/3(x/2+y),所以1≤x+3y≤3