给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角60°,点C在以O为圆心的 圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，求x+y的

Question

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角60°,点C在以O为圆心的
圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，求x+y的最大值

Answer 1

设:∠AOC=α .
因为OC=xOA+yOB，
则OC •OA=xOA •OA+yOB •OA ;
OC •OB=xOA •OB+yOB •OB .
(注：以上OA、OB、OC均表示向量)
∵OA=OB=OC=1，
OA •OA=OB •OB=1，
OA •OB=1*1*cos60°=1/2,
OC •OA=1*1*cosα= cosα,
OC •OB=1*1* cos(60°-α)= cos(60°-α),
∴cosα=x+0.5y ;
cos(60°-α)=0.5x+y .
两式相加得：cosα+cos(60°-α)=3/2(x+y),
∴x+y=2/3[cosα+cos(60°-α)]
=2/3[cosα+1/2 cosα+√3/2sinα]
=2/3[3/2 cosα+√3/2sinα]
=2√3/3[√3/2 cosα+1/2sinα]
=2√3/3 sin(α+π/3) ≤2√3/3
当α=π/6时取到最大值2√3/3.

Answer 2

由已知，|OA|=|OB|=|OC|=1 ，且 OA*OB=cos120= -1/2 ，
因此由已知得 OC^2=x^2+y^2+2xy*OA*OB ，
即 x^2+y^2-xy=1 ，
所以 (x+y)^2-3xy=1 ，
由于 xy<=(x+y)^2/4 ，
则 (x+y)^2-1=3xy<=3/4*(x+y)^2 ，
解得 x+y<=2 ，
即当 x=y=1 时，x+y 最大值为 2 。
手打就采