在扇形AOB中,∠AOB=120°,点C在弧AB上,若向量OC=xOA+yOB x y ∈R 求x+y的最大值

Answer 1

解：设扇形半径为r.
则 |OA|=|OB|=|OC|=r,且
<OA,OB>=120度,
所以 OA^2=|OA|^2=r^2,
OB^2=|OB|^2=r^2,
OA.OB=|OA||OB|cos<OA,OB>= -(r^2)/2.
又因为 OC=xOA+yOB,
所以 OC^2=x^2(OA^2)+2xy(OA.OB)+y^2(OB^2)
=(x^2-xy+y^2)(r^2).
又因为 OC^2=r^2不等于0,
所以 x^2-xy+y^2=1.
又因为 C在弧AB上,
所以 x>0,y>0.
令 z=x+y,
则 xy<=[(x+y)/2]^2=(z^2)/4.
所以 1=(x+y)^2-3xy
>=z^2-(3/4)(z^2)
=(1/4)(z^2)
解得 -1/2<=z<=1/2
又因为 z=x+y>0,
所以 0<=x+y<=1/2.
所以 x+y的最大值为1/2.

Answer 2

解：设扇形半径为r.
则 |OA|=|OB|=|OC|=r,且
<OA,OB>=120度,
所以 OA^2=|OA|^2=r^2,
OB^2=|OB|^2=r^2,
OA.OB=|OA||OB|cos<OA,OB>= -(r^2)/2.
又因为 OC=xOA+yOB,
所以 OC^2=x^2(OA^2)+2xy(OA.OB)+y^2(OB^2)
=(x^2-xy+y^2)(r^2).
又因为 OC^2=r^2不等于0,
所以 x^2-xy+y^2=1.
又因为 C在弧AB上,
所以 x>0,y>0.
令 z=x+y,
则 xy<=[(x+y)/2]^2=(z^2)/4.
所以 1=(x+y)^2-3xy
>=z^2-(3/4)(z^2)
=(1/4)(z^2)
解得 -2<=z<=2
又因为 z=x+y>0,
所以 0<=x+y<=2.
所以 x+y的最大值为2.

Answer 3

楼上好强大，完全正确。