设随机变量X的分布函数为 F(x)=0, x<1 F(x)=lnx, 1<=x<e F(x

Question

设随机变量X的分布函数为
F(x)=0, x<1
F(x)=lnx, 1<=x<e
F(x)=1 x>=e
试求P(X<2), P(0<X<=3) P(2<X<2.5)

Answer 1

Fx(x)

=0 ; x<1

=lnx ; 1≤x<e

=1 ; x≥e

fx(x)

=F'x(x)

=0 ; x<1

=1/x ; 1≤x<e

=0 ; x≥e

或

解：

P{x<2}=F(2)=ln2

P{0<x≤3}=F(3)-F(0)=1-0=1

P{2<x≤2.5}=F(2.5)-F(2)=ln2.5-ln2=ln1.25

故fX(x) = 1/x，1≤x＜e

0，x≥e

含义

若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。

Answer 2

解：
P{x<2}=F(2)=ln2
P{0<x≤3}=F(3)-F(0)=1-0=1
P{2<x≤2.5}=F(2.5)-F(2)=ln2.5-ln2=ln1.25

(2)
①当x＜1时，fX(x)=0
②当1≤x＜e时，fX(x)=(lnx) '=1/x
③当x≥e时，fX(x)=1 '=0
0 ，x＜1
故fX(x) = 1/x ，1≤x＜e
0 ，x≥e