已知f（x）=x-ln（x+1）.g（x）=ax2 1.求函数f（x）的单调区间与最值 2.若对任意的x∈[0.正无穷），有f

Question

已知f（x）=x-ln（x+1）.g（x）=ax2
1.求函数f（x）的单调区间与最值
2.若对任意的x∈[0.正无穷），有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)定义域为{x|x＞-1}
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
∴ 当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞0时，f'(x)＞0,f(x)单调递增。
∴当x=0时f(x)取得极小值和最小值0

令h(x)=f(x)-g(x)=x-ln(x+1)-ax²
h'(x)=x/(x+1)-2ax=x(-2ax+1-2a)/(x+1)≤0
∵x≥0，∴-2ax+1-2a≤0
∴x=(1-2a)/(2a)≥0
∴0<a≤0.5
故当0<a≤0.5时，对任意的x∈[0.+∞)，f(x)≤g(x)恒成立