设函数fx=a^2x^2（a>0），若关于x的不等式（x-1）^2>fx的解集中的整数恰有3个，求

Question

设函数fx=a^2x^2（a>0），若关于x的不等式（x-1）^2>fx的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围

Answer 1

设函数f(x)=a²x²(a>0)，若关于x的不等式(x-1)²>f(x)的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围.
解：(x-1)²>a²x²(a>0)，展开化简得(a²-1)x²+2x-1=[(a+1)x-1][(a-1)x+1]<0.............(1)
当0<a<1时，a-1<0，-(a-1)>0，a+1>2>0，且a+1>-(a-1)，1/(a+1)<-1/(a-1)；
故(1)的解为1/(a+1)<x<-1/(a-1)；此时参数a必须满足不等式组：
3<-1/(a-1)-1/(a+1)=-2a/(a²-1)<4，即-2a/(a²-1)>3............①，且-2a/(a²-1)<4............②；
由①得3+2a/(a²-1)=3-2a/(1-a²)=[3(1-a²)-2a]/(1-a²)=-(3a²+2a-3)/(1-a²)<0，因为0<a<1，故1-a²>0，
于是去分母和负号得同解不等式3a²+2a-3>0；此时a<(-1-√10)/3<0，或a>(-1+√10)/3，故得
(-1+√10)/3<a<1为解。
由②得2a/(1-a²)-4=(4a²+2a-4)/(1-a²)=2(a²+a-2)/(1-a²)<0，得a²+a-2=(a+2)(a-1)<0，即有0<a<1；
①∩②={a∣(-1+√10)/3<a<1}为满足题意的解。
当a>1时，(1)的解为1/(a+1)<x<1/(a-1)；此时参数a必须满足不等式组：
1/(a-1)-1/(a+1)>3..........③；1/(a-1)-1/(a+1)<4..............④；
由③得3-2/(a²-1)=(3a²-5)/(a²-1)<0，得3a²-5<0，a²<5/3，得1<a<√(5/3)；
由④得4-2/(a²-1)=(4a²-6)/(a²-1)<0，得4a²-6<0，a²<3/2，1<a<√(3/2)；
③∩④={a∣1<a<√(3/2)}为满足题意的解。
当a=1时由(x-1)²>x²ï¼Œå¾—-2x+1>0，此时x<1/2，不能满足解集中的整数恰有3个的要求，故a≠1.
故满足题意的a的取值范围为(-1+√10)/3<a<√(3/2)，且a≠1.

追问

谢谢您

Answer 2

（x-1）^2>a^2x^2的解集
只可能是开区间，其中的整数不可能只有三个

追问

题目无误

追答

把两个函数的图形画出来就清楚了。