已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件

Question

已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[-1，3]上的最大、最小值；（3）要使函数f（x）在[-1，3]上是单调函数，求b的范围．

Answer 1

由f（1）=0，得1+b+c=0，①
（1）∵是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即x²-bx+c=x²+bx+c，
∴b=0，c=-1，
∴函数f（x）=x²-1；
（2）由（1）得f（x）=x²-1，
由f（x）=x²-1在[-1，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，
故当x=0时，函数f（x）取最小值-1；当x=3时，函数f（x）取最大值8；
（3）∵f（x）=x²+bx+c的图象是开口朝上，且以直线x=?

b

2

为对称轴的抛物线，
若f（x）=x²+bx+c在[-1，3]上是单调函数，
则?

b

2

≤-1，或?

b

2

≥3，
∴b≥2，或b≤-6，
即b的取值范围是（-∞，-6]∪[2，+∞）