已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R).(1)若f(1)=0,f(3)=0,求f(-1)的值(2)若函数f(x)在

Question

19.已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R).
(1)若f(1)=0，f(3)=0，求f(-1)的值
(2)
若函数f(x)在[-2,+∞)上是单调增函数，且c=-b^2,求f(2)的取值范围
(3)若对任意x∈R,恒有f(x)≥2x+b,证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)^2

Answer 1

1) 因为f(1)=0 =>1+b+c=0 (1)
因为f(3)=0 =>9+3b+c=0 (2)
联立等式1,2，得b=-4,c=3
所以f(-1)=8
2)f(x)=(x+b/2)^2+c-b^2/4,在[-2,+∞)上是单调增，所以-b/2<=-2 =>b>=4
f(2)=4+2b+c=4+2b-b^2=-(b-1)^2+5.
因为b>=4，-(b-1)^2+5以b为自变量的减函数.所以f(2)<=-4.
3)因为f(x)≥2x+b => x^2+(b-2)x+c-b=>0.解得c>=(b^2+4)/4>=1
假设当x>=0时,f(x)≤(x+c)^2,所以有x^2+bx+c<=x^2+2cx+c^2 =>(2c-b)x+c^2-c>=0
因为2c-b=>=(b^2+4)/2-b = [(b-1)^2+3]/2>=3/2 所以 c^2>=c
因为c>=1.
所以c^2>=c恒成立
所以当x≥0时，f(x)≤(x+c)^2