已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),(1)若f(1)=0,f(3)=0,求f(-1)的值；(2)若函数f(x)

Question

已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),(1)若f(1)=0,f(3)=0,求f(-1)的值；(2)若函数f(x)在[-2,+∞)上是单调增函数，且c=-b^2,求f(2)的取值范围；(3)若对任意x∈R,恒有f(x)≥2x+b,证明：当x≥0时，f(x)≤（x+c)^2.

Answer 1

f(1)=b+c+1=0

f(3)=3b+c+9=0

b=-4

c=3

f(x)=x^2-4x+3

f(-1)=(-1)^2+4+3=8

由题意：对称轴-b/2<=-2      b>=4   

因为c=-b^2

所以f(2)=4+2b+c=4+2b-b^2=-(b-1)^2+5

因为b>=4

所以-(b-1)^2+5<=-9+5=-4

所以f(2)的取值范围为(负无穷,-4]

f(x)>=2x+b恒成立

x^2+bx+c>=2x+b恒成立

x^2+(b-2)x+c-b>=0恒成立

判别式=(b-2)^2-4(c-b)<=0

b^2-4b+4-4c+4b<=0

b^2-4c+4<=0

c>=(b^2)/4+1

令p(x)=f(x)-(x+c)^2=x^2+bx+c-x^2-2cx-c^2=(b-2c)x+c-c^2,这是一条斜率为(b-2c)，截距为c-c^2的直线

下面根据c>=(b^2)/4+1，考察斜率和截距的取值范围：

b-2c<=b-(b^2)/2-2=-[(b-1)^2]/2-3/2<=-3/2<0

因为c>=(b^2)/4+1>=1

所以c-c^2=1/4-(c-1/2)^2<=1/4-(1-1/2)^=0

所以直线的斜率小于0，单调减，且截距是小于等于0的

所以x>=0时，p(x)<=p(0)<=0

所以f(x)-(x+c)^2<=0

所以f(x)<=(x+c)^2

有哪里没看懂的再问我，记得采纳哦，亲！