求两道不定积分题的具体解法

Question

花红色横线的部分是怎么求出来的啊
第一道 原式：∫dx/(2+cosx)sinx
第二道 原式：∫dx/sin2xcosx
详细点比较好 叩谢各位

Answer 1

解答：
（1）第一题中的-1/[(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)]=1/[3(2+cosx)]-1/[2(1+cosx)]-1/[6(1-cosx)]是这样得来的：
设A/(2+cosx)+B/(1+cosx)+C/(1-cosx)=-1/[(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)]
==>A(1+cosx)(1-cosx)+B(2+cosx)(1-cosx)+C(1+cosx)(2+cosx)=-1
==>(C-A-B)cos²x+(3C-B)cosx+(A+2B+2C)=-1
比较等式两边同类项的系数，得方程组 C-A-B=0，3C-B=0，A+2B+2C=-1
解此方程组，得A=1/3，B=-1/2，C=-1/6
∴-1/[(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)]=1/[3(2+cosx)]-1/[2(1+cosx)]-1/[6(1-cosx)]；
（2）第二题中的(1/2)∫d(tanx)/sinx=(1/2)[tanx/sinx-∫tanxd(1/sinx)]是应用分部积分法得来的：
在分部积分公式∫udv=uv-∫vdu中，取u=1/sinx，dv=d(tanx)，则du=d(1/sinx)，v=tanx
代入公式，得∫d(tanx)/sinx=tanx/sinx-∫tanxd(1/sinx)
∴(1/2)∫d(tanx)/sinx=(1/2)[tanx/sinx-∫tanxd(1/sinx)]。

Answer 2

这个是简单的凑微分啊
∫dx/(2+cosx)sinx
=-∫1/(2+cosx)dcosx
=-∫1/(2+cosx)d(2+cosx)
=-ln(1+cosx)+C

∫dx/sin2xcosx
这个不太清楚你的被积函数，能写清楚点吗

追问

第一题的结果貌似跟书上不一样啊

追答

怎么不一样？哪个地方？

Answer 3

1. 令 u=cosx，原式= ∫ du /[ (2+u)(u²-1)]
设 1/ [(2+u)(u²-1)] = A/(2+u) + B/(u-1) + C/(u-1) 分解成部分分式之和，确定系数A,B,C
......
2. 分部积分 ∫ u * v' dx = ∫ u dv = u * v - ∫ v du = ∫ v * u' dx
∫ 1/sinx d(tanx) = tanx/sinx - ∫ tanx d(1/sinx)
= tanx/sinx - ∫ tanx * (-cosx)/ (sinx)² dx = 1/cosx + ∫ (1/sinx) dx
= secx + ln|cscx -cotx| + C
......

Answer 4

第一道：
∫dx/[(2+cosx)sinx]
用万能公式：
设t=tan(x/2)，dx=2dt/(1+t²)
sinx=2t/(1+t²),cosx=(1-t²)/(1+t²)
原式=∫dt/【[2+(1-t²)/(1+t²)]*t】
=∫(1+t²)/(t³+3t) dt
=∫d(t³/3+t)/(t³+3t)
=(1/3)∫d(t³+3t)/(t³+3t)
=(1/3)ln|t³+3t| + C
=(1/3)ln|tan³(x/2)+3tan(x/2)| + C

第二道：
∫dx/(sin2x*cosx)
=∫dx/(2sinxcosx*cosx)
=(1/2)∫cscx*sec²x dx
=(1/2)∫(1+tan²x)*cscx dx
=(1/2)∫cscx dx + (1/2)∫secxtanx dx
=(1/2)ln|cscx-cotx| + (1/2)secx + C

关于图片的题目：
第一题：
令1/[(2+cosx)(1+cosx)(1-cosx)]=A/(2+cosx)+B/(1+cosx)+C/(1-cosx)
即1=A(1+cosx)(1-cosx)+B(2+cosx)(1-cosx)+C(2+cosx)(1+cos)，这是通分后
解了这个方程就能得出A，B和C的值

至于第二题，这是分部积分法，即∫vdu=uv-∫udv
这个很难说，自己看维基百科吧，你会有所领悟的。

参考资料：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%88%86%E9%83%A8%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95