两个随机变量函数Z=X+Y的概率密度推导。主要是变量替换这种思想，很不理解啊

Question

对于概率论常用的变量替换（也叫线性变换），到目前还没有有效的理解。比如正态分布化为标准正态分布……
现在有一个问题，就是Z=X+Y分布的概率密度函数。书上是这样写的：用 y=u-x 替换。也就是把y 换成u-x （y不是等于z-x吗，为什么还要用u-x替换？）
然后dy相应的变为d（u-x）了，也就是du了，这点还明白。可是积分上限，怎么由Z-X变成Z了啊？
附两幅浙大教材的截图，这样比较直观。望有爱高手解答
@！现在问题范围更加窄了，我现在只需要一个“是”或者“不是”。请看我的问题：
d（u-x）里，x是视为常数，因此d（u-x）变成du的瞬间，上限下限都得相应替换。即u=x+y，也是z了。我特意自己举了一个例子，证实了积分变量即使是相等如d（t-1）=dt，但由于积分形势的不变性，如果变成dt了，积分方式就发生了本质的改变，于是积分上限必须变化！这个过程平时都想当然了，如果做其他的定积分题我也会这么做。只是因为浙大概率的界面不太友好，于是卡在了这个过程中。现在我只希望能知道，我所说的这段话，是正确的吧？？？？？

Answer 1

卷积公式的推导过程：
“用 y=u-x 替换。也就是把y 换成u-x （y不是等于z-x吗，为什么还要用u-x替换？）”

这里是将积分变量y换成U，u=y+x，而定积分换元要换限，当y=z-x 时，u=z, 这样以来积分变量u的上限就变成z了。

这就是换元的目的，以z为上限的定积分就是z的函数，再根据密度函数和分布函数的关系就得到卷积公式。
只要会用卷积公式就行，也就是连续型随机变量求和的分布时要用的公式。不必纠结推导过程。

扩展资料：

卷积在工程和数学上都有很多应用：

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。

概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。

声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。

电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。

物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

参考资料来源：卷积_百度百科

Answer 2

因为将x用u来替换，积分上下界也要同时变换，即上界由原本的x=z-y变为z-y=u-y，得出u=z
PS：实际解题时也可以不用u做替换，只要你知道上下界的积分区域，做题时不要搞混就可以了。这点和积分替换是一个道理。但如果不能很好区分，最好在求分布函数时使用u，而不要用x，因为此时积分区域本身也是用x,y表示，所以混淆概率比较大。

追问

我还是有点不明白：dx在变量替换后变为d（u-y），这二者本质是相等的啊，上限为什么要变化？由z-y变成u-y就可以了啊。u-y怎么还得成为z呢？
我感觉我之所以不明白，可能是d（u-y）等价于du吧。如果du了，其实还是和d（u-y）一样的，这样也就没有必要变上限了。
或许我想多了，d（u-y）直接就变成du了，然后针对于u的上限就是Z了？
还麻烦再解释一下，可能对您十分顺理成章的事，我还没接触过。我还会再追加奖励的

追答

这部分确实是概率的难点，因为除了概率本身的理解，还涉及到积分问题。
首先，x的上限是z-y，这是对应x的，所以当积分变为u时，要对应改变为u的范围。
需要注意的是，通过变量代换后，d(u-y)并不等价于du，仅仅只是求导后d(u-y)=du而已。而求积分时，需要用u的上下限，所以有u=x+y=z-y+y=z。
我想，你可能是混淆了积分的做法。实际上，在求解积分时，当积分用变量替换时，有两种方法，一种是用替换变量替代原式，本题解释就是这样。还有一种是不直接写出替换变量，比如用d(u-y)直接替换du，这个时候，积分上下限依然是对应u的，在求出积分后，上下限数字是代入u，而不是u-y。这点是要注意的。

PS：这个知识点是高数积分的变量替换法，属于积分的第一类变换，如果还是不能理解的话，可以看看高数积分的这个知识点。

追问

平时做定积分时，都条件反射似的直接变量代换同时上下限改变，但其中的过程却没真正理解。我自己设计了一个简单的定积分：∫ x dx （积分限为0-1），然后用变量替换，x=t-1 ，则变为： ∫ （t-1） d（t-1），其实t-1正如u-x，本质还是x（概率密度推导这个题为y），积分上下限不改变。虽然d（t-1）=dt，但积分变量已经变成了dt，所以就要发生上下限的变动了（由0-1变成1-2）。结果也证明，只有这样才能保证数值相等。

Answer 3

卷积公式的推导过程只需理解即可，
“用 y=u-x 替换。也就是把y 换成u-x （y不是等于z-x吗，为什么还要用u-x替换？）”，这里是将积分变量y换成U，u=y+x，而定积分换元要换限，当y=z-x 时，u=z, 这样以来积分变量u的上限就变成z了。这就是换元的目的，以z为上限的定积分就是z的函数，再根据密度函数和分布函数的关系就得到卷积公式。
你只要会用卷积公式就行，也就是连续型随机变量求和的分布时要用的公式。不必纠结推导过程，你的不懂在于你的定积分不熟。

追问

我也发现我的症结所在了：定积分的变量替换后的上下限的改变。或许对不定积分太习惯了，如x=dt吧，d（t-1）直接想当然等价于dt了，根本没考虑过上下限。但如果是定积分，d（t-1）变成dt后，上下限都得加1。
可能是与微分形式的不变性有所联系……
不知我这样想对不对？马上就要彻底理解了，麻烦再给点破一下啊

Answer 4

Answer 5

我主要是想照着答案来看怎么做类似的题 用卷积公式，提示一下,那两个分布不太好打啊

追问

那两个公式不理解，感觉记不住啊。因为要记的东西太多了，高数、概率、线代都得全会才行，不理解实在是别扭啊。
我主要是想知道变量替换的推导过程啊，就那一步不明白啊